Le blog de Alain ANDRE

Encore deux énigmes de Martin Gardner.

énigme 1

Trois jeunes couples dansent dans une discothèque. Les trois jeunes filles sont habillées l'une en rouge, l'autre en vert et la troisième en bleu.

Il en est de même des trois garçons qui sont habillés dans les trois mêmes couleurs. Tout en dansant avec sa partenaire, le garçon en rouge s'approche d'un autre couple et dit à la fille en vert : "C'est drôle, aucun de nous ne danse avec un partenaire de la même couleur !"

Qui danse avec qui ?

énigme 2

Pierre et Paul courent tous les deux un 100 mètres.

Pierre gagne avec dix mètres d'avance sur Paul. Ils décident alors d'une revanche, mais cette fois, Pierre part avec 10 mètres de retard sur Paul.

Si chacun d'eux court à la même vitesse que dans la première course, qui gagnera ?

énigme 1 : 1 animal de chaque sorte bien entendu, mais pas facile à expliquer...

énigme 2 : On peut faire très simple ou très compliqué...

Les deux missiles se rapprochent à la vitesse de 21 000 + 9000 soit 30 000 km/h. Une minute soit 1/60 d'heure avant la collision, ils seront donc à 30 000/60 Km de distance soit  500 km l'un de l'autre.

Les 1317 Km les séparant au départ ne servait à rien.

Un participant au Rallye s'énerve : il déchire en huit morceaux sa feuille de papier (première étape), puis il prend un des morceaux qu'il déchire de nouveau en huit (deuxième étape), et ainsi de suite (à chaque étape, il prend l'un des morceaux et le déchire en huit).

Au bout de combien d'étapes aura-t-il obtenu au moins 2011 morceaux (en admettant qu'il puisse déchirer tous les morceaux, mêmes les plus petits) ?

                                       D'après le Rallye mathématique sans frontière Midi Pyrénées

remarque : le problème était mieux adapté à l'année 2010...

Blague de matheux :

Pourquoi la fille des gardiens de l'Obélisque à Paris est-elle réelle ?

Question de cours (Métropole, septembre 2006)
Pré-requis
Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x → Ce^−λx où C est une
constante réelle.
1. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle (E’_λ) :
z′ = −(λz + 1) telle que z(0) = 1.
2. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z₀.

Restitution organisée de connaissances (La Réunion, juin 2005)
On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :
(C)   f(−x)f′(x) = 1 pour tout nombre réel x et f(0) = −4
(où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.
1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la
fonction g définie sur R par g(x) = f(−x) f(x).
a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R.
b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g.
c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
d. On considère l’équation différentielle (E) y′ = 1/16 y.
Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu’elle vérifie f(0) = −4.
2. Question de cours
a. On sait que la fonction x  → e ^x/16 est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer
alors que l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies
sur R, de la forme x  → Ke ^x/16 , où K est un nombre réel quelconque.
b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la
valeur −4 en 0.
3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

Dans ce village d'Auvergne, on vient de faire, en l'an de grâce 1333, la récolte des châtaignes. L'année a été moyenne, et l'on n'a pas dépassé les 100 000 châtaignes.

Le seigneur prend évidemment sa dîme : on divise la récolte en dix parts égales, et comme il reste 1 châtaigne, le maître des lieux l'emporte avec sa part.

Le prévôt prend alors sa dîme, ou plutôt la dîme de ce qui reste : dans ce but on fait dix nouveaux tas, il reste une châtaigne que le prévôt emporte avec sa part.

On procède de même, dans l'ordre, avec le bailli, le curé et le bedeau. Chaque fois, coincidence extraordinaire, il reste une châtaigne une fois que dix tas égaux sont faits et elle est emportée avec le tas du notable.

Après le passage des cinq dignitaires, le reste des châtaignes est réparti entre les 48 familles du village.

Peuvent-elles toutes en prendre le même nombre ?

                                                                                             Jeux mathématiques du"Monde"

solution de l'énigme précédente

Dénombrons tout ce petit monde

Il y a le patriarche.

Il a eu n enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n² petits enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n³ arrières petits enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n⁴ arrières arrières petits enfants.

Cela nous donne en tout :1 + n + n² + n³ + n⁴ personnes.

Le fait que les chaises sont installées en carré se traduit par 1 + n + n² + n³ + n⁴ est un carré parfait.

Bon, on peut estimer raisonnable de majorer n : cherchons n < 10 par exemple.

On peut utiliser le tableur de la calculatrice :

La seule valeur de n qui convient est 3.

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 = 11²

Toutes les personnes réunies ont donc eu 3 enfants.

C'est à Alcuin d'York que nous devons aussi le célèbre problème du loup de la chèvre et du chou.

Pour mémoire :

Un homme devait faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou. La seule barque qu'il put trouver ne pouvait transporter que deux d'entre eux à la fois, dont lui-même, mais il devait transférer les trois en bon état sur l'autre rive.

Comment s'y prit-il ?

Moins connu, dans le même esprit :

Trois amis, chacun accompagné d'une soeur, doivent traverser une rivière. Chacun d'eux convoite la soeur d'un autre.

Arrivés à la rivière, ils trouvent seulement une petite barque qui ne peut transporter que que deux personnes au plus à chaque voyage.

Comment peuvent-ils traverser la rivière sans qu'aucune des femmes ne soit déshonorée ?

remarque : Par " Chacun d'eux convoite la soeur d'un autre", il faut comprendre qu'il convoite les deux autres femmes, sinon c'est trop facile...

Aller, un dernier avec un peu de maths :

Un marchand voulait acheter une centaines de porcs pour 100 pence.

Pour un verrat, il paie 10 pence, et pour une truie 5 pence, tandis qu'il paie 1 penny pour deux porcelets.

Combien a-t-il pu acheter de verrats, de truies, de porcelets s'il a payé exactement 100 pence pour 100 animaux ?

remarque : pence était le pluriel de penny en ces temps anciens.

énigme de la semaine passée 

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