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19 janvier 2011 3 19 /01 /janvier /2011 21:16

Encore deux énigmes de Martin Gardner.

 

énigme 1

Trois jeunes couples dansent dans une discothèque. Les trois jeunes filles sont habillées l'une en rouge, l'autre en vert et la troisième en bleu.

Il en est de même des trois garçons qui sont habillés dans les trois mêmes couleurs. Tout en dansant avec sa partenaire, le garçon en rouge s'approche d'un autre couple et dit à la fille en vert : "C'est drôle, aucun de nous ne danse avec un partenaire de la même couleur !"

Qui danse avec qui ?

 

énigme 2

Pierre et Paul courent tous les deux un 100 mètres.

Pierre gagne avec dix mètres d'avance sur Paul. Ils décident alors d'une revanche, mais cette fois, Pierre part avec 10 mètres de retard sur Paul.

Si chacun d'eux court à la même vitesse que dans la première course, qui gagnera ?

 

énigme 1 : 1 animal de chaque sorte bien entendu, mais pas facile à expliquer...

 

énigme 2 : On peut faire très simple ou très compliqué...

Les deux missiles se rapprochent à la vitesse de 21 000 + 9000 soit 30 000 km/h. Une minute soit 1/60 d'heure avant la collision, ils seront donc à 30 000/60 Km de distance soit  500 km l'un de l'autre.

Les 1317 Km les séparant au départ ne servait à rien.

 

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12 janvier 2011 3 12 /01 /janvier /2011 22:59

Martin Gardner (1914-2010) est un journaliste Américain qui a tenu la rubrique de jeux mathématiques dans la revue Scientific American pendant 25 ans. Je vous propose deux petits problèmes caractéristiques : des énoncés toujours simples mais une résolution plus laborieuse sauf si on trouve "le truc"...

 

Combien ai-je d'animaux domestiques sachant que tous sauf deux sont des chiens, tous sauf deux sont des chats, tous sauf deux sont des perroquets ?

 

Deux missiles se dirigent l'un vers l'autre, le premier à la vitesse de 9000 Km/h, le second à la vitesse de 21 000 Km/h.

Lorsqu'ils sont lancés, ils sont à 1317 Km l'un de l'autre.

A quelle distance l'un de l'autre seront-ils une minute avant leur collision ?

 

 

énigme de la semaine passée :

Soit un le nombre de feuille à l'étape n

étape 0 :1 feuille donc u0 = 1

étape 1 : 8 feuilles donc u1 = 8

étape 2 : 7 + 8 = 15 feuilles donc u2 = 15

de l'étape n à l'étape n + 1 : une des n feuilles est déchirée et remplacée par 8 autres feuilles donc le nombre de feuille augmente de 8 - 1 = 7.

La suite un est arithmétique de raison 7 et de premier terme 1, on a donc un = 1 + 7 n.

On cherche le plus petit entier n tel que : un >= 2011   équivaut à 1 + 7n >= 2011    ou 7n >= 2010 n >= 2010/7

On obtient n = 288.

Ce problème a été donné en 2010 au Rallie et 2009 était multiple de 7. La réponse était donc 287.

 

explication de la blague :

Un couple de gardiens pour l'Obélisque à Paris ? C'est une pure imagination ! Mais vous savez bien que le produit de deux imaginaires purs est réel...

 

Nouvelle blague : Quel est le nombre le plus laid ?

       -1 bien entendu  car  -1 c'est i ².

Celle là elle était facile, j'aime bien celle ci :

C’est l’histoire de deux complexes z1 et z2 qui se promènent dans le demiplan inférieur. Aigris d’être délaissés de par leurs imaginaires négatifs, ils se disent : « Barrons-nous ! ».

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5 janvier 2011 3 05 /01 /janvier /2011 23:20

Un participant au Rallye s'énerve : il déchire en huit morceaux sa feuille de papier (première étape), puis il prend un des morceaux qu'il déchire de nouveau en huit (deuxième étape), et ainsi de suite (à chaque étape, il prend l'un des morceaux et le déchire en huit).

Au bout de combien d'étapes aura-t-il obtenu au moins 2011 morceaux (en admettant qu'il puisse déchirer tous les morceaux, mêmes les plus petits) ?

 

                                       D'après le Rallye mathématique sans frontière Midi Pyrénées

 

remarque : le problème était mieux adapté à l'année 2010...

 

 

Blague de matheux :

Pourquoi la fille des gardiens de l'Obélisque à Paris est-elle réelle ?

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1 janvier 2011 6 01 /01 /janvier /2011 00:01

Bonne année 2011 à tous, qu' elle vous apporte tous les succès attendus.

 

Et pour commencer la nouvelle année dans la bonne humeur, un petit concentré de ce qu'il vous faudra éviter de dire en fin d'année...

                                         Cliquez ici

 

 

Mais 2011 est aussi l'occasion de faire un peu d'arithmétique : Quel peut bien être le reste de la division de 1002010 par 2011?

 

indication : 2011 a une propriété remarquable...

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Published by ANDRE - dans Vie de classe
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30 décembre 2010 4 30 /12 /décembre /2010 21:05

Question de cours (Métropole, septembre 2006)
Pré-requis
Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x → Ce
λx où C est une
constante réelle.
1. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle (E’
λ) :
z′ = −(λz + 1) telle que z(0) = 1.
2. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

Restitution organisée de connaissances (La Réunion, juin 2005)

On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :
(C)   f(−x)f′(x) = 1 pour tout nombre réel x et f(0) = −4
(où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.
1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la
fonction g définie sur R par g(x) = f(−x) f(x).
a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R.
b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g.
c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
d. On considère l’équation différentielle (E) y′ = 1/16 y.
Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu’elle vérifie f(0) = −4.
2. Question de cours
a. On sait que la fonction x  → e x/16 est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer
alors que l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies
sur R, de la forme x  → Ke x/16 , où K est un nombre réel quelconque.
b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la
valeur −4 en 0.
3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

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Published by ANDRE - dans ROC
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30 décembre 2010 4 30 /12 /décembre /2010 21:00

Vous trouverez ici trois textes d'exercices sur les équations différentielles tombés au Bac l'an passé.
Les questions en italique portent sur les logarithmes et peuvent être laissées de côté pour l'instant.

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8 décembre 2010 3 08 /12 /décembre /2010 22:24

Dans ce village d'Auvergne, on vient de faire, en l'an de grâce 1333, la récolte des châtaignes. L'année a été moyenne, et l'on n'a pas dépassé les 100 000 châtaignes.

Le seigneur prend évidemment sa dîme : on divise la récolte en dix parts égales, et comme il reste 1 châtaigne, le maître des lieux l'emporte avec sa part.

Le prévôt prend alors sa dîme, ou plutôt la dîme de ce qui reste : dans ce but on fait dix nouveaux tas, il reste une châtaigne que le prévôt emporte avec sa part.

On procède de même, dans l'ordre, avec le bailli, le curé et le bedeau. Chaque fois, coincidence extraordinaire, il reste une châtaigne une fois que dix tas égaux sont faits et elle est emportée avec le tas du notable.

Après le passage des cinq dignitaires, le reste des châtaignes est réparti entre les 48 familles du village.

 

Peuvent-elles toutes en prendre le même nombre ?

 

                                                                                             Jeux mathématiques du"Monde"

 

 

solution de l'énigme précédente

Dénombrons tout ce petit monde

Il y a le patriarche.

Il a eu n enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n² petits enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n3 arrières petits enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n4 arrières arrières petits enfants.

Cela nous donne en tout :1 + n + n2 + n3 + n4 personnes.

Le fait que les chaises sont installées en carré se traduit par 1 + n + n2 + n3 + n4 est un carré parfait.

Bon, on peut estimer raisonnable de majorer n : cherchons n < 10 par exemple.

On peut utiliser le tableur de la calculatrice :

La seule valeur de n qui convient est 3.

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 = 11²

Toutes les personnes réunies ont donc eu 3 enfants.

 

 

 

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1 décembre 2010 3 01 /12 /décembre /2010 21:11

Le patriarche de cette famille a eu des enfants, des petits enfants, des arrières petits enfants et même des arrières arrières petits enfants. Tous sont vivants et en bonne santé et sont venus souhaiter (sans leurs conjoints) à l'ancêtre son anniversaire. Des chaises ont été installées en carré (il y a autant de chaises dans chaque rangée que de rangées de chaises), et elles sont toutes occupées lorsque l'ancêtre se rassoit à la fin de son discours.

Chose extraordinaire, toutes les personnes réunies (sauf bien sûr les arrières arrières petits enfants ) ont eu le même nombre d'enfants.

 

Combien ?

 

                                              Jeux mathématiques du Monde

 

 

Enigme de la semaine 10 :

La semaine 11 a été très chargée aussi pas d'énigme la semaine dernière...

On note x le nombre de vérats, y le nombre de truies et z le nombre de porcelets.

On a donc : 10 x + 5 y + 0,5 z = 100                et     x + y + z = 100

Pas pratique ce 0,5 : multiplions par 2 et il vient 20x +10y + z = 200

d'où l'on tire z = 200 - 20x - 10y = 10 (20 - 2x - y ).

Voilà un premier renseignement intéressant sur z : il est multiple de 10 et bien entendu < 100

Il peut prendre une des valeurs : 10,20,30,40,50,60,70,80,90

Au pire on teste les 9 valeurs (9 systèmes à résoudre et on veut des solutions entières naturelles).

Main on peut faire plus malin !

On a le système d'inconnues x et y :

                     2x  + y = (200 - z)/10

                        x + y = 100 - z

On a clairement 2x + y > x + y  (rappel, on travaille avec des entiers naturels)

donc z doit vérifier : (200 - z)/10 > 100 - z           ssi       200 - z > 1000 - 10z

                                                                                   ssi     9 z > 800

                                                                                   ssi        z > 88

Le seul multiple de 10 dépassant 88 est 90

Le marchand a donc acheté 90 porcelets. On en déduit facilement que x = 1 et y = 9

 

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17 novembre 2010 3 17 /11 /novembre /2010 22:46

C'est à Alcuin d'York que nous devons aussi le célèbre problème du loup de la chèvre et du chou.

Pour mémoire :

Un homme devait faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou. La seule barque qu'il put trouver ne pouvait transporter que deux d'entre eux à la fois, dont lui-même, mais il devait transférer les trois en bon état sur l'autre rive.

Comment s'y prit-il ?

 

Moins connu, dans le même esprit :

Trois amis, chacun accompagné d'une soeur, doivent traverser une rivière. Chacun d'eux convoite la soeur d'un autre.

Arrivés à la rivière, ils trouvent seulement une petite barque qui ne peut transporter que que deux personnes au plus à chaque voyage.

Comment peuvent-ils traverser la rivière sans qu'aucune des femmes ne soit déshonorée ?

 

remarque : Par " Chacun d'eux convoite la soeur d'un autre", il faut comprendre qu'il convoite les deux autres femmes, sinon c'est trop facile...

 

Aller, un dernier avec un peu de maths :

Un marchand voulait acheter une centaines de porcs pour 100 pence.

Pour un verrat, il paie 10 pence, et pour une truie 5 pence, tandis qu'il paie 1 penny pour deux porcelets.

Combien a-t-il pu acheter de verrats, de truies, de porcelets s'il a payé exactement 100 pence pour 100 animaux ?

remarque : pence était le pluriel de penny en ces temps anciens.

 

énigme de la semaine passée 

Voir les solutions en commentaire

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10 novembre 2010 3 10 /11 /novembre /2010 20:49

Un petit voyage dans le passé cette semaine.

Je vous propose  quelques problèmes d'Alcuin d'York né vers l'an 730, contemporain de Charlemagne à qui l'on doit un des premiers recueils de jeux mathématiques , son titre : "Problèmes pour aiguiser l'esprit de la jeunesse".

En 781 Charlemagne le fait venir à Aix-La -Chapelle pour réformer le système scolaire. Il jouera le rôle de ministre de l'Education jusqu'en 796.

Un ministre de l'éducation amateur de mathématiques, ça me fait rêver !

 

Un père et ses trois fils

Un père, lorsqu'il mourut, laissa à ses trois fils 30 jarres, dont 10 étaient pleines d'huile, 10 à motié pleines et les dix autres vides.

Partagez l'huile et les jarres de telle sorte que chacun reçoive le même nombre de jarres et la même quantité d'huile.

 

 

Deux hommes conduisant leurs boeufs

Deux hommes conduisaient leurs boeufs le long d'une route. Le premier dit au second : "donne moi deux boeufs et j'en aurai alors le même nombre que toi !". L'autre dit alors : " Mais si tu m'en redonnes deux, alors j'en aurai le double de toi !"

Combien de boeufs y avait-il au total, et combien en possédait chacun des deux hommes ?

 

énigme de la semaine précédente

Soit d le chiffre des dizaines et u le chiffre des unités de l'âge d'une des trois personnes.

On a d dans { 2,3,4,5,6,7,8,9} et u dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}  (d = 0 ou 1 semble peu raisonnable...)

Soit N le numéro du département.

Les hypothèses se traduisent par : d² + u² + N = 10 d + u.

Ou encore : 10d - d² + u - u² = N

J'ai alors rempli un tableau à double entrée : en ligne les 8 valeurs possibles de d et en colonnes les 10 valeurs possibles de u et dans chaque case la valeur de N correspondante.

Je remplis ligne par ligne.

A priori on a 80 cases à remplir, mais ce n'est pas utile car à un moment N devient négatif ce qui est impossible et on passe à la ligne suivante.

Bon, comment trancher et décider de la bonne valeur de N ? N est le nombre qui est apparu trois fois et trois fois seulement  ! Et seul19 répond à ce critère (bravo pour le concepteur de l'exercice).

Un peu de géographie maintenant : 19 est le numéro de la Corrèze et Tulle en est la préfecture.

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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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