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5 mai 2010 3 05 /05 /mai /2010 20:59

César Thaire a invité un couple d'amis à son anniversaire. On papote âges.

"C"est étonnant, mais si on ajoute à mon âge le produit des deux chiffres qui le composent, puis encore la somme de ces chifres, puis encore leur différence, on obtient 100" confie Pierre.

"Bien que je sois plus jeune que lui, c'est exactement la même chose pour moi" précise Aude, sa femme.

"Ce n'est pas mon cas" dit César. Puis il ajoute : "Mais si on enlève la différence des deux chiffres à la somme de mon âge, du produit des deux chiffres et de leur somme, cette fois, on obtient 100".


Quel est l'âge des trois protagonistes ?

 

 

              D'après "Jeux mathématiques du Monde"

 

Solution de l'énigme précédente :

Notons n un entier naturel et considérons N = n (n + 1) (n + 2) (n +3) +1. Il semblerait que ce soit un carré parfait, ce qui à priori n'a rien d'évident...

Développons : N = (n2 + n) (n2 + 5n + 6) + 1 = n4 + 6 n3 + 11 n2 + 1.

On devine avec un peu d'intuition (?) que N ne peut être que le carré d'une expression de degré 2, type : an2 + bn + c.

Cherchons a, b, c tels que n4 + 6 n3 + 11 n2 + 1. = (an2 + bn + c)2 .

Par identification, on a de manière évidente a = 1 et c = 1. Il rete à trouver b.

(n2 + bn + 1)2 = n4 +b2n2 + 1 +  2bn3+ 2 n2 + 2bn = n4 + 2bn3 + (b2 + 2)n2 + 2bn + 1

un "truc" bon à savoir (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc  , facile de deviner (a + b + c + d)2  ...

Par identification des coefficients de degré 2 et 3 on obtient b = 3

On a donc : N = n (n + 1) (n + 2) (n +3) +1 = (n2 +3n + 1)2

avec n = 1 : N = 1*2*3*4 + 1 = 25 = (1 + 3 + 1)²   OK

et avec n = 2007 : 2007*2008*2009*2010 + 1 = (2007 ² + 3 *2007 + 1)² = 4 034 071 2

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4 mai 2010 2 04 /05 /mai /2010 22:15

Suite au cours de mardi après-midi, voici quelques informations complémentaires sur les paraboles.
Je commence par définir géométriquement une parabole, j'introduis la notion de foyer et directrice.
Dans un deuxième temps je démontre une propriété géométrique à la base des applications concrètes des paraboloïdes dont je vous ai parlé.
Les techniques utilisées rentrent parfaitement dans le cadre du programme de terminale.
Bonne lecture.

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2 mai 2010 7 02 /05 /mai /2010 09:56

TS3

Apporter les annales 2010 avec vous pour le cours de spécialité du 03 Mai 2010.

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28 avril 2010 3 28 /04 /avril /2010 22:05

Prenez le temps de lire rapidement tout le texte afin de repérer les exercices qui vous sont le plus familiers.

Commencez par l'exercice de votre choix.

Je vous rappelle qu'il s'agit toujours de petits problèmes où les questions s'enchaînent de manière logique.

Il faut savoir admettre certains résultats après un temps raisonnable de recherche et continuer la suite de l'exercice.

Si vous abandonnez un exercice, laissez de la place pour pouvoir y revenir un peu plus tard.

Veuillez toujours à la logique et à la cohérence de vos résultats. En cas de grosses anomalies que vous n'arrivez pas à corriger mais dont vous êtes conscient, n'hésitez pas à le dire sur la copie.

Gérez bien votre temps : le nombre de points attribué à chaque exercice vous donne une idée du temps à consacrer à l'exercice.

L'idéal est de prendre un peu de temps à la fin pour vous relire, en particulier ce qui a été écrit au tout début, certains sont spécialistes de graves erreurs en début de devoir.

N'hésitez pas à utiliser un brouillon, et évitez de faire trop de ratures...

 

Bon courage.

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28 avril 2010 3 28 /04 /avril /2010 21:42

En multipliant 1 par 2 par 3 par 4 et en ajoutant 1, on trouve 25, le carré de 5.

En multipliant 2 par 3 par 4 par 5 et en ajoutant 1, on trouve 121, le carré de 11.

En multipliant 3 par 4 par 5 par 6  et en ajoutant 1, on trouve 361, le carré de 19.


Et en multipliant 2007 par 2008 par 2009 par 2010 et en ajoutant 1 ?


               (d'après Jeux mathématiques du "Monde")

 

(Calculatrice interdite bien entendu...)

 

Correction de l'énigme 25

Je me suis aidé d'un arbre de choix.

AX ou AY ou AZ ou AT donne un nombre d'oeufs multiple de 5.


Pour les autres enfants, il est impossible de récupérer des multiples de 5. Si on veut que le nombre total d'oeufs finisse par 5, il est nécessaire d'avoir AY   (15 oeufs entre le père et le fils)


Ecrivons S = S' + 15 où S est le nombre total d'oeufs et S' le nombre d'oeufs ramassés par les familles X, Z, T.

S' est obligatoirement un multiple de 10.

J'ai examiné tous les cas : la seule possibilité est 16 + 12 + 12 = 40

Ce qui correspond à : AY, BX, CT, DZ

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3 avril 2010 6 03 /04 /avril /2010 18:01

Je vous rappelle que les annales du Bac 2009 figurent dans l'ENT.

Voici quelques exercices pas encore traîtés dans l'année que vous pouvez faire en revision.


France Métropolitaine : exo 1

                                         exo 2 A, B, 1) (calcul intégral)

                                         exo 4


Amérique du Nord :       exo 1

                                         exo 2  (calcul intégral)

                                         exo 4


Antilles Guyane :             exo 4  (fonction ln)


Liban :                              exo 4   (complexes)

Polynésie :                       exo 2   (complexes)

La Réunion :                    exo 1   (complexes)       


Inde :                                 exo 1   (calcul intégral) 

 

Sur l'ENT vous trouverez les corrections.

Bonne revision.


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2 avril 2010 5 02 /04 /avril /2010 17:36

La dernière question de cours n'est pas un cadeau...

 

ROC

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31 mars 2010 3 31 /03 /mars /2010 21:03

En famille ou entre voisins, pour Pâques, il est de tradition de cacher des oeufs dans le jardin, et c'est à qui en trouvera le plus. Quatre enfants sont là, avec leur père ou leur mère.

Au bout de la matinée, Alexandre a découvert 5 oeufs, Béatrice en a trouvé 4, Chloé une demi-douzaine et Damien 2 seulement.

Les parents eux aussi participent à la recherche, et ce ne sont pas les moins acharnés : Monsieur Xéres en trouve trois fois plus que son enfant, Madame Yvon deux fois plus que le sien, Madame Zinox cinq fois plus que son rejeton, et Monsieur Toudou autant que le sien.

Du nombre total d'oeufs, on sait juste qu'il se termine par 5.

 

Quels sont les noms de famille des quatre enfants ?

 

                                                          jeux mathématiques du Monde

 

correction de l'énigme précédente :

C'est l'énigme que j'ai eu le plus de plaisir à chercher. Je vais en donner une solution en dimension 2. J'y reviendrai en fin d'année avec une jolie démonstration en dimension 3, mais pour l'instant il nous manque quelques résultats de géométrie dans l'espace.

Appelons AB la tige. On la casse en deux points M et N. On récupère donc trois tiges AM, MN et NB telles que :

AM + MN + NB = AB. Pour nous simplifier les notations, appelons : AB = L, AM = x, MN = y et alors on aura NB = L - x - y.

(une variante consiste à poser NB = z et donc à travailler dans l'espace).

Comme toujours en probabilité décrivons notre univers :

Une "casse" de la tige correspond à un choix d'un couple (x ; y) tel que : 0 < x < L ; 0 < y < L ; 0 < x + y < L   (la somme des longueurs AM + MN ne peut dépasser la longueur de la tige).C'est le moment de se souvenir d'un résultat sur le régionnement dans un plan : la droite d'équation cartésienne x + y - L = 0 partage le plan en deux demi plans : d'un côté les points M (x,y) tels que x + y - L > 0 et de l'autre les points M (x ; y) tels que x + y - L < 0. C'est ce dernier demi-plan qui nous intéresse. L'origine O (0;0) est dans ce demi plan. On sait donc maintenant à quoi ressemble notre univers : c'est l'ensemble des points M (x ; y) dessiné ci -dessous. (par commodité, j'ai choisi L = 1)

figureprobatriangle

Intéressons nous maintenant aux cas favorables : Pour pouvoir former un triangle avec nos trois tiges, il faut et il suffit que l'inégalité triangulaire soit vérifiée, à savoir :

x + y > L - x - y                                                      x + y > L/2                                              

x  + L - x - y > y                      ou encore :                  y < L/2       

y + L - x - y > x                                                            x < L/2

Le domaine des possibles correspond donc au rectangle marron foncé intérieur.

Maintenant un peu d'intuition : la probabilité s'exprimera par le quotient  de l'aire du domaine des possibles par l'aire de l'univers. (on adapte notre formule : nombre de cas favorable par nombre de cas total).

La probabilité est donc de 1/4.

                          


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29 mars 2010 1 29 /03 /mars /2010 12:00
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24 mars 2010 3 24 /03 /mars /2010 22:24
Un très joli problème cette semaine, l'occasion d'utiliser plein de notions vues dans les classes précédentes

On casse une baguette en trois morceaux. On suppose que les deux points de rupture sont totalement aléatoires, c'est à dire que toutes les positions possibles de ces deux points sont équiprobables.

Quelle est la probabilité que les trois morceaux puissent être les trois côtés d'un même triangle ?


                                                   d'après "Jeux mathématiques du Monde"


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