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3 novembre 2010 3 03 /11 /novembre /2010 21:24

La même année, M et Mme Ducarré se sont rencontrés, se sont mariés, et ont adopté Daisy, une adorable tortue de mer. Ils vivent depuis un bonheur sans faille dans une petite préfecture de province.

"J'ai fait une curieuse remarque sur nos âges" dit un jour M Ducarré. "Si on ajoute les carrés des deux chiffres qui composent mon âge et le numéro de notre département on retrouve mon âge. Mais ce qui est étonnant, c'est que c'est encore vrai pour toi alors que tu  es nettement plus jeune que moi : si on ajoute les carrés des deux chiffres qui composent ton âge et le numéro de notre département on retrouve ton âge"

-"C'est absolument extraordinaire ! D'autant que c'est la même chose pour Daisy qui est pourtant la plus vieille des trois. Si on ajoute les carrés des deux chiffres qui composent son âge et le numéro de notre département on retrouve son âge ! Tu crois que si on avait un enfant, ce serait la même chose ?"

-Non. Nos trois âges sont les seuls à avoir cette particularité

 

Dans quelle ville les époux Ducarré habitent -ils ?

 

                                 Jeux mathématiques du "Monde"

 

 

Solution de l'énigme 7

Ne semble pas avoir eu de succès ?

L'âge de M. Dupont est un diviseur de 2450. On en dresse la liste.

2450 = 1 * 2450 = 2 * 1225 = 5 * 490 = 7 * 350 = 10 * 245 = 14  * 175 = 25 * 98 = 35 * 70 = 49 * 50

Pour un père de deux enfants, il semble raisonnable de prendre l'âge de M Dupont dans la liste : 25, 35, 49, 50.

J'élimine 70 car l'histoire se passe en ces temps heureux où la retraite était à 60 ans et on nous dit que le capitaine est plus âgé que M Dupont...

Si M Dupont a 25 ans, le produit des âges des deux filles est 98 = 1 * 98 = 2 * 49 = 7 * 14   peu raisonnable...

Si M Dupont a 35 ans, lle produit des âges des deux filles est 70 = 2 * 35 = 5 * 14 = 7 * 10

35 + 5+ 14 = 54 n'est pas multiple de 4

35 + 7 + 10 = 52 = 4 * 13    Le fils pourrait avoir 13 ans

Si M Dupont a 49 ans, le produit des âges des deux filles est 50 = 1 * 50 = 2 * 25 = 5 * 10

49 + 2 + 25 = 76 = 4 * 19    Le fils pourrait avoir 19 ans

49 + 5 + 10 = 64 = 4 * 16    Le fils pourrait avoir 16 ans

Si M Dupont a 50 ans, le produit des âges des deux filles est 49 = 1 * 49 = 7 * 7 (deux jumelles, pourquoi pas ?)

50 + 7 + 7 = 64 = 4 * 16   Le fils pourrait avoir 16 ans.

Bien, maintenant réciproquement, si le fils avait 13 ans il pourrait conclure l'âge de M Dupont et de ses filles : 35, 5, 14.

Si le fils avait 19 ans , il pourrait conclure l'âge de M Dupont et de ses filles : 49, 2, 25.

S'il ne peut pas répondre, c'est qu'il a 16 ans et qu'il hésite entre les deux solutions : 49, 5, 10 ou 50, 7, 7.

Maintenant si le faît de savoir que son père est plus âgé que M Dupont lui permet de conclure, c'est que le capitaine a juste 50 ans (s'il avait plus, l'ambiguité ne serait pas levée). M Dupont a donc 49 ans et ses filles 5 et 10 ans.

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27 octobre 2010 3 27 /10 /octobre /2010 18:48

L'âge de Mr Dupont est un diviseur de 2450.

On peut dresser la liste des diviseurs et retenir ceux qui correspondent à l'âge d'un père de deux filles.

Les âges possibles des filles s'en déduisent simplement.

La somme des trois âges est multiple de 4 : permet de faire un premier ménage dans tout ça.

 

Après il faut se poser la question : pourquoi le fils ne peut pas conclure ?

Puis, pourquoi le fait de savoir que le capitaine est plus âgé que M . Dupont, permet au fils de conclure.

 

remarque : le fils connait bien entendu son âge et l'âge de son père...

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Published by ANDRE
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20 octobre 2010 3 20 /10 /octobre /2010 23:17

Le capitaine dit à son fils : "la cabine n°1 abrite M Dupont et ses deux filles. Le produit de leurs trois âges est 2450 et la somme de leurs trois âges est égale à 4 fois le tien. Peux-tu trouver les âges des trois passagers ?"

Après un instant, le fils répond : "Non, il me manque une donnée".

Le capitaine ajoute alors : "Je suis plus âgé que M.Dupont".

Le fils du capitaine en déduit aussitôt les trois réponses.

 

Quel est l'âge du capitaine ? Quel est celui de son fils ? Celui de M Dupont et de ses deux filles ?

 

énigme précédente

Supposons que dans le sac il y a b billes blanches, v billes vertes et r billles rouges. 

On a : b + v + r =30

On retire 25 billes et il y en a au moins 3 blanches : cela n'est possible que s' il y a au plus 22 billes non blanches dans le sac (imaginez que vous tirez les 22 non blanches en premier, fatalement les trois dernières sont assurées d'être blanches).

On a donc : v + r <= 22

De la même façon on obtient : v + b <= 20  et b + r <= 18

 

Or : v + r = 30 - b  ,    v + b = 30 - r  ,    b +r = 30 - v et on a:

 30 - b <= 22 donc b >=8

30 - r <= 20         donc r >=10             b+r <= 18   donc v >= 12

 

Supposons maintenant que l'une de ces trois inégalités soit stricte : par exemple b = 9 alors v + r = 21 ce qui est incompatible avec r >=10 et v >= 12   (la somme vaut au minimum 22).

 

On en déduit la composition du sac : 8 billes blanches, 10 billes rouges et 12 billes vertes.

 

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19 octobre 2010 2 19 /10 /octobre /2010 19:09

En fin de semaine n'oubliez pas de passer par l'UBO (attention fac de Lettres...) à l'occasion de la fête de la Science.

 

Pour information

 

mathématiques

 

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Published by ANDRE - dans Vie de classe
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13 octobre 2010 3 13 /10 /octobre /2010 23:29

Mathias a dans son sac 30 billes de trois couleurs. Il sait que s'il retire de son sac 25 billes choisies au hasard, il y aura parmi elles au moins 3 billes blanches, au moins 5 rouges et au moins 7 vertes.

 

Combien le sac de Mathias contient-il de billes rouges ?


 

 

Enigme précédente :

C'est une jolie énigme dont la solution  n'est pas très simple à rédiger. Je vais me contenter d'en donner les grandes lignes et l'ordre dans lequel j'ai utilisé les renseignements. Je numérote les maisons de 1 à 5, de gauche à droite.

J : Norvégien au 1    (au bout à gauche) et donc la maison bleue est la n°2

E : Les deux maisons aux extrèmes sont la jaune et la verte. Dans un premier temps j'ai fait l'hypothèse que la 1 était verte et donc la 5 était jaune : pas de chance, un peu plus loin j'aboutissais à une contradiction.

Du coup la 1 est la jaune et la 5 est la verte.

F : La blanche est donc la 4 et par élimination la rouge est la 3

On peut déjà dessiner la rue                                                                                                                     1                      2                      3                             4                                    5

   Jaune            Bleue               rouge                      Blanche                         Verte

 

Maintenant le mieux est de construire un tableau à double entrée : en ligne les professions, nationalités, boissons, animaux et en colonnes les maisons avec leur couleur et leur numéro

A : Anglais dans la rouge

B : Café ds la verte

H : forestier dans la 1

I : le thé dans la rouge, chez l'Anglais, on aurait pu le deviner...

L : le cheval dans la 2

C : chien et espagnol en 4 ou en 5  (il n'y a plus que là qu'il y a de la place)

D : le Grec et le lait en 2 ou 4  (il n'y a plus que là qu'il y a de la place)

N : peintre et jus d'orange en 2 et 4

 

J'ai été amené à faire l'hypothèse : Grec et Lait en 2        peintre et jus d'orange en 4    (c'était la bonne, j'avoue ne pas avoir eu le courage de vérifier que le contraire amenait à une contradiction..)

M : Italien Journaliste obligatoirement en 5

G : retraité escargot en 3 : surprise, l'Anglais aime les escargots !

K : renard en 1 et chanteur d'Opéra en 2.

 

Bon qu'est ce qui n'est pas rempli ? EAU en 1 chez le Norvégien et ZEBRE en 5 chez l'Italien.

 

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Published by ANDRE
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6 octobre 2010 3 06 /10 /octobre /2010 22:59

Un  classique qui a de multiples versions.

Dans une rue d'un village se trouvent cinq maisons alignées sur l'un des côtés. On les numérote de 1 à 5.

Elles sont de couleurs différentes, habitées par des hommes de diverses nationalités, ayant chacun un animal favori, sa boisson préférée et un métier particulier.

A) l'anglais habite la maison rouge.

B) on boit du café dans la maison verte.

C) le chien appartient à l'espagnol

D) le grec boit du lait

E) la maison verte et la maison jaune n'ont qu'un voisin

F) la maison verte est située à côté de la blanche

G) le retraité élève les escargots

H) le forestier demeure dans la maison jaune

I) On boit du thé dans la maison du milieu

J) le norvégien habite au numéro 1, à côté de la maison bleue

K) le propriétaire du renard est voisin du chanteur d'opéra

L) le forestier habite à côté du propriétaire du cheval

M) l'italien est journaliste

N) le peintre boit du jus d'orange

 

Qui boit de l'eau ? Et à qui appartient le zèbre ?

 

Inutile de donner le détail du raisonnement, donner juste les deux réponses.

 

énigme précédente :

voir les commentaires de la semaine passée, deux personnes ont trouvé la réponse.

 

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29 septembre 2010 3 29 /09 /septembre /2010 22:23

Jean possède entre 2000 et 6000 cubes de même taille. Il peint chacun soit en bleu, soit en vert, soit en rouge.

En les empilant tous, il forme un grand cube. Sur la surface supérieure de ce cube, il compte deux fois plus de carrés bleus que de carrés verts et autant de carrés rouges que de bleus et verts réunis.

 

Combien Jean a-t-il de cubes en tout ?

 

                                                                                                                Rallye mathématique d'Auvergne

 

 

solution de l'énigme précédente

 

Soit N le résultat cherché et  a et b les deux nombres donnés  par le professeur, a étant le plus grand des deux.

On a : N = a * b - 60 = a/b + 60 soit a*b - a/b = 120   (1)

On travaille sur des nombres entiers. Une telle égalité ne peut avoir lieu que si a/b est entier donc que si b divise a.

Appelons q le quotient de a par b. On a q = a/b ou encore a = b * q.

Reportons dans (1) : il vient    b * q * b - q = 120 ou encore après factorisation de q :     q (b² - 1) = 120        (2)

On déduit de (2) que q est un diviseur de 120.

Nous allons les tester un par un.

si q = 1 alors b² - 1 = 120 et b² = 121 donc b = 11 puis a = b * q = 11 * 1 = 11 et enfin N = a * b - 60 = 11* 11 -60 = 61

si q = 2 alors b² - 1 = 60 et b² = 61 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers.

si q = 3 alors b² - 1 =40 et b² = 41 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 4 alors b² - 1 = 30 et b² = 31 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 5 alors b² - 1 = 24 et b² = 25  donc b = 5 puis a = 25 et N = 65

si q = 6 alors b² - 1 = 20 et b² = 21 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 8 alors b² - 1 = 15 et b² = 16 donc b = 4 puis a = 32 et N = 68

si q = 10 alors b² - 1 = 12 et b² = 13 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 12 alors b² - 1 = 10 et b² = 11 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 15 alors b² - 1 = 8 et b² =9  donc b = 3 puis a = 45 et N = 75

si q = 20 alors b² - 1 = 6 et b² =7 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 24 alors b² - 1 = 5 et b² = 6 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 30 alors b² - 1 = 4 et b² = 5 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 40 alors b² - 1 = 3 et b² = 4  donc b = 2 puis a = 80 et N = 100

si q = 60alors b² - 1 = 2 et b² = 3 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 120 alors b² - 1 = 1 et b² = 2 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

 

En conclusion, les résultats possibles étaient : 61 ; 65 ; 68 ; 75 ; 100.

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23 septembre 2010 4 23 /09 /septembre /2010 21:32

Nous venons d'établir des critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10. Ce sont les seuls exigibles d'un lycéen.

Je vais vous montrer qu'il n'est pas bien difficile d'établir d'autres critères.

J'aimerais par exemple savoir si un entier est divisible par 7.

Si c'est un nombre à deux chiffres, il nous suffira de connaître notre table de 7 ou de faire la division de tête...

Intéressons nous à un nombre à 3 chiffres.

Commençons par écrire : 100 = 7 * 14 + 2. On en déduit que 100 est congru à 2 modulo 7.

Maintenant si le nombre s'écrit cdu en base 10, il vaut c* 100 + du et il est donc congru à 2*c + du   modulo 7.

Concrètement :

on sépare le chiffre des centaines des deux autres, on calcule 2*c + du : si c'est un multiple de 7 alors cdu aussi est multiple de 7, sinon cdu n'est pas multiple de 7.

Voici deux exemples :    525 est-il multiple de 7 ?   Je calcule 2*5 + 25 = 35 qui est multiple de 7 donc 525 aussi.

743 est-il multiple de 7 ?   Je calcule 2 *7 + 43 = 57 qui n'est pas multiple de 7 donc 743 non plus. Remarquez qu'en prime je connais le reste de la division par 7 qui est 1, puisque 57 = 7 * 8 + 1.

Bon, et pour un nombre à 4 chiffres ? Je vais bien entendu effectuer la division de 1000 par 7.

1000 = 142 * 7 + 6.

1000 est congru à 6   modulo 7, donc aussi congru à -1. J'aime bien les congruences à -1 !

Considérons l'entier mcdu. Il vaut m * 1000 + cdu et il est donc congru à -1 * m + cdu ou cdu - m.

Et voilà mon critére qui tombe tout seul : j'isole le chiffre des milliers. Je le retranche au nombre cdu.

J'obtiens un nombre à 3 chiffres auquel j'applique le critère précédent pour les nombres à 3 chiffres.

Encore deux exemples :

3257 est-il multiple de 7 ?     Je calcule 257 - 3 = 254 puis 2 * 2 + 54 = 58. Non 7 ne divise pas 3257.

2324 est-il multiple de 7 ?     Je calcule 324 - 2 = 322 puis 2 * 3+ 22 = 28 = 7 * 4.   7 divise 2324.

 

Il est facile d'adapter la méthode pour un nombre à 5 chiffres ...

 

Remarquez encore que le critère est lié au choix de la base d'écriture des nombres.

Que pensez-vous du critère de divisibilité par 7 d'un entier écrit en base 8 ?

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23 septembre 2010 4 23 /09 /septembre /2010 19:05

Vendredi 24 à 22h 45 , Arte diffuse " Fractales, à la recherche de la dimension cachée".

Une émission consacrée aux mathématiques de notre temps, c'est assez rare pour être signalée...

A ne pas manquer !

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22 septembre 2010 3 22 /09 /septembre /2010 21:45

Nico Chanceux est nul en maths. Au lieu de multiplier, il divise. Et au lieu de soustraire, il additionne.

Son professeur lui demande d'ôter 60 du produit de deux nombres entiers naturels. Par chance, Nico trouve le bon résultat.

 

Quel était ce résultat ?     (plusieurs réponses possibles, l'idéal est de les trouver toutes...)

 

                                  Grand jeu de l'institut mathématiques d'Angers (1997)

 

 

 

Enigme de la semaine 2 :

Voir la solution de Marie, que je remercie,  en commentaire de l'énigme précédente.

 

 

remarque : dans vos commentaires vous pouvez vous contenter de donner les solutions sans justification, les preuves pouvant m'être montrées dans la semaine.

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