Le blog de Alain ANDRE

Pour bien  comprendre ce qui va suivre, il faut savoir que  l'ensemble des nombres réels est constitué de deux grandes familles, d'une part les nombres rationnels qui peuvent s'exprimer sous la forme d'un quotient de deux  entiers et d'autre part  les nombres irrationnels comme pi et racine carrée de 2.
Il vous faut savoir aussi que tout intervalle non vide de R (d'amplitude aussi petite soit-elle) contiendra à la fois des nombres rationnels et  des nombres irrationnels.  Autrement dit,  aussi proche que vous vous placez d'un nombre réel fixé,  vous trouverez des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

Considérons la fonction définie sur R de la façon suivante :
        Si x est rationnel, f(x) = 1.
        Si x est irrationnel, f(x) = 0.
Pas bien compliqué à priori.  La fonction ne prend que deux valeurs : 0 ou 1.
exemple :  f(2) = 1    f(3/4) = 1    f(pi) = 0 ...
Cette fonction porte le nom de fonction caractéristique des rationnels.
Je vais vous expliquer qu'elle ne possède pas de limite en aucun  réel.
Reprenons la définition vue en cours :
Dire que f admet pour limite L  en a, signifie que tout intervalle ouvert  I contenant L contient toutes les valeurs f (x) dés que x sera assez proche de a.
C'est parti pour un peu de logique.
Exprimons que f n'admet pas L pour limite en a.
Si on trouve un intervalle ouvert I contenant L (un contre exemple), tel que aussi proche que nous nous plaçions de a on puisse toujours trouver un réel x dont l'image f(x)  sorte de I alors L ne peut être la limite.
A  méditer avant de lire la suite. ..

Bien, appliquons cela à la fonction  caractéristique des rationnels.
Soit a un réel.
Cette fonction ne prenant que les valeurs 0 ou 1, si la limite en a existe ce ne peut- être que 0 ou 1.
Est- ce 0 ? Je choisis l'intervalle ouvert  I = ] -0,5 ; 0,5[ . Il contient bien 0. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre rationnel (c'est la remarque préliminaire) et l'image de ce rationnel sera 1 et 1 n'appartient pas à  I.     0 ne peut pas être la limite.

Essayons 1 comme limite. Je choisis l'intervalle J = ]0,5 ; 1,5[ . Il contient bien 1. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre irrationnel et l'image de cet irrationnel sera 0 et  0 n'appartient pas à J. Donc 1 ne peut pas non plus être la limite.
Voilà donc une fonction qui n'admet des limites nulle part...
Conséquence immédiate : elle est discontinue en tout nombre réel a (article à suivre...)

Autre curiosité de cette fonction : sauriez vous tracer sa représentation graphique ?

Pour achever le cours sur la continuité, voici une petite application fantaisiste du théorème des valeurs intermédiaires :

A l'instant où vous lirez ces lignes, il y a au moins deux points de l'équateur diamétralement opposés où il y a la même température.
Surprenant vous ne trouvez pas ? Vous devez vous demander quel lien il peut bien y avoir entre le théorème des valeurs intermédiaires et la température sur l'équateur...

Ce n'est pas si compliqué.

Déjà on peut se mettre d'accord sur le fait que si vous vous déplacez pas à pas sur la ligne de l'équateur la température évoluera de façon continue : peu de chance d'avoir un "saut " brutal de température.
Voilà déjà la continuité qui fait son apparition, c'est un bon début...

Considérons maintenant la fonction T qui à un point de l'équateur associe la différence de température entre ce point et le point qui lui est diamétralement opposé. Nous voilà avec une fonction qui sera continue d'après la remarque précédente.
Prenons un point A de l'équateur au hasard. De deux choses l'une :
Soit au point B diamétralement opposé à A, la température est la même qu'en A et dans ce cas notre point A est un point qui répond au problème posé.
Soit la température y est différente. Supposons-la inférieure par exemple. Dans ce cas T (A) a un signe strictement positif.
Plaçons nous en B : T(B) = - T(A) donc T(B) est négatif strictement.
Je pense que vous avez deviné la suite :
Appliquons notre théorème des valeurs intermédiaires : il y a obligatoirement quelque part entre A et B un point M de l'équateur où on aura T (M) = 0. Mais cela signifie que en M et au point qui lui est diamétralement opposé les températures sont identiques.
Maintenant si vous supposez la température en B supérieure à celle de A, le raisonnement s'adapte sans problème.


Voilà, c'est prouvé !

Une année tropique est le temps écoulé entre deux équinoxes d'automne par exemple. C'est un temps que l'on a su évaluer correctement dès l'Antiquité. A l'époque de Jules César elle était estimée à 365,25 jours (365 jours 1/4 comme on le dit souvent). D'où la mise en place en 45 av JC par Jules César du calandrier dit Julien que vous connaissez tous :
3 années de 365 jours suivie d'une année dite bissextile à 366 jours. Si vous faîtes la moyenne sur 4 ans, vous avez bien (365 + 365 + 365 + 366) / 4 = 365,25.

Tout ça c'est très bien sauf que l'année tropique dure en vérité 365 jours 5 h 48 min 46 s. C'est donc un peu moins que 365,25 jours.
Pour y voir un peu plus clair convertissons tout cela dans notre bon système décimal :
1 jour = 24 heures = 24 * 60 minutes = 24 * 3600 secondes.
Donc 365 j 5h 48 min 46 s = 365 + 5/24 + 48 / (24*60) + 46 / (24*3600) = 365,2421991 que nous arrondirons à 365,2422 jours.

L'année du calendrier julien est donc trop longue de 365,25 - 365,2422 = 0,0078 jours.
En minutes ça nous fait : 0,0078 * 24 * 60 = 11,232 minutes.

Ce n'est pas beaucoup direz vous, mais si vous accumulez l'erreur sur quelques siècles vous verrez fatalement les dates des équinoxes avancer et donc les saisons se décaleront dans le temps ce qui n'est guère commode.
C'est le constat du pape Grégoire XIII en 1582.
Il constate qu'en 325 après JC , l'année du Concile de Nicée (premier concile de l'Eglise catholique, date importante pour lui) l'équinoxe de printemps avait eu lieu le 21 Mars.
Or en cette année 1587 elle a lieu 10 jours avant..
Vérifions le : 1582 - 325 = 1257 années écoulées et 1257 * 0,0078 = 9,80046 environ 10 jours.

Il décide donc que le lendemain du 4 Octobre 1582 sera le 15 Octobre 1582 !

Mais maintenant il doit trouver un système pour que dans les siècles à venir le décalage ne se reproduise plus.
Il faut diminuer le nombre de jours d'une année.
0,0078 est proche de 0,0075 = 3 / 400. Trouvons un système qui diminue de 3 le nombre de jours sur 400 ans.
Il suffit de supprimer trois années bissextiles : décidons que ne seront plus bissextiles les années séculaires non multiples de 400.
1600 sera bissextile, mais 1700, 1800, 1900 ne le seront pas, 2000 le sera ect...Sur 400 ans vous avez bien supprimé 3 années bissextiles.
Calculons alors une année avec ce nouveau système : on va faire une moyenne sur 400 ans.
100 - 3 = 97 années bissextiles et 303 années à 365 jours.
(303*365 + 97 * 366) / 400 = 365,2425
Avec ce système on colle bien mieux à l'année tropique, mais comme vous pouvez le constater notre année est encore trop longue de 365,2425 - 365,2422 = 0, 0003 jours (environ 26 secondes).
Laissons à nos descendants le soin de régler ce problème dans quelques millénaires...

Ce matin , j'ai introduit le cours de géométrie dans l'espace en classe de seconde par l'observation des polyèdres réguliers.

Je  vous propose   une démarche qui nous permette de les dénombrer et de voir à quoi ils peuvent bien ressembler.
Pour vous mettre en appétit ces petites images .

                                          Polyèdres1                                                             Polyèdres2

En descendant le fleuve, une péniche a mis 2 heures pour parcourir 60 Km. Pour revenir au point de départ, elle met 3 heures.

Quelle est la vitesse du courant en Km/h ?

Et celui-ci qui lui ressemble :

Jeannot met 2 heures en kayak pour descendre la rivière et 3 heures pour faire le trajet retour en pagayant à la même allure.

Combien de temps aurait-il mis pour couvrir la même distance totale, toujours à la même allure, mais sur un lac ?

solution de l'énigme précédente :

Pierre est le plus rapide, je note V sa vitesse et v la vitesse de Paul.

Soit t le temps mis par Pierre pour faire le 100 mètres : t = 100/V

Comme il rets encore 10 mètres à faire à Paul, il fait le 100 m en t' = t + 10/v.

Maintenant intéressons-nous à la deuxième course :

Paul va encore faire le 100 m dans le même temps t' = t +10/v.

Pierre lui , va faire les 110 m en le temps t'' =  10/V + t

Pour savoir qui va gagner, on doit comparer t' et t''. Or v < V donc 10/v > 10/V et t + 10/v > t + 10/V soit t' > t''.

C'est donc encore Pierre qui gagne.

Et cette petite blague  :

Jésus, debout sur son rocher, parle à ses disciples :
« y = ax² + bx + c. »
Un des apôtres prend alors la parole :
« Écoute, Jésus, déjà d’habitude on ne comprend pas grand-chose à ce que
tu nous dis, mais là, franchement on est perdus. »
Jésus de rétorquer : « C’est normal, c’est une parabole... »