Pour bien comprendre ce qui va suivre, il faut savoir que l'ensemble des nombres réels est constitué de deux grandes familles, d'une part les nombres rationnels qui peuvent s'exprimer sous la forme d'un quotient de deux entiers et d'autre part les nombres irrationnels comme pi et racine carrée de 2.
Il vous faut savoir aussi que tout intervalle non vide de R (d'amplitude aussi petite soit-elle) contiendra à la fois des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Autrement dit, aussi proche que vous vous placez d'un nombre réel fixé, vous trouverez des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
Considérons la fonction définie sur R de la façon suivante :
Si x est rationnel, f(x) = 1.
Si x est irrationnel, f(x) = 0.
Pas bien compliqué à priori. La fonction ne prend que deux valeurs : 0 ou 1.
exemple : f(2) = 1 f(3/4) = 1 f(pi) = 0 ...
Cette fonction porte le nom de fonction caractéristique des rationnels.
Je vais vous expliquer qu'elle ne possède pas de limite en aucun réel.
Reprenons la définition vue en cours :
Dire que f admet pour limite L en a, signifie que tout intervalle ouvert I contenant L contient toutes les valeurs f (x) dés que x sera assez proche de a.
C'est parti pour un peu de logique.
Exprimons que f n'admet pas L pour limite en a.
Si on trouve un intervalle ouvert I contenant L (un contre exemple), tel que aussi proche que nous nous plaçions de a on puisse toujours trouver un réel x dont l'image f(x) sorte de I alors L ne peut être la limite.
A méditer avant de lire la suite. ..
Bien, appliquons cela à la fonction caractéristique des rationnels.
Soit a un réel.
Cette fonction ne prenant que les valeurs 0 ou 1, si la limite en a existe ce ne peut- être que 0 ou 1.
Est- ce 0 ? Je choisis l'intervalle ouvert I = ] -0,5 ; 0,5[ . Il contient bien 0. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre rationnel (c'est la remarque préliminaire) et l'image de ce rationnel sera 1 et 1 n'appartient pas à I. 0 ne peut pas être la limite.
Essayons 1 comme limite. Je choisis l'intervalle J = ]0,5 ; 1,5[ . Il contient bien 1. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre irrationnel et l'image de cet irrationnel sera 0 et 0 n'appartient pas à J. Donc 1 ne peut pas non plus être la limite.
Voilà donc une fonction qui n'admet des limites nulle part...
Conséquence immédiate : elle est discontinue en tout nombre réel a (article à suivre...)
Autre curiosité de cette fonction : sauriez vous tracer sa représentation graphique ?
