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3 mars 2010 3 03 /03 /mars /2010 17:49

mélancolie
Dans son dernier roman , Le symbole perdu, Dan Brown fait  référence  à deux reprises à des carrés magiques.
Si vous observez bien le tableau d'Albert Durer, en haut à gauche vous voyez le carré magique auquel il est fait allusion dans le roman.


16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Pour la petite histoire, Dan Brown est fils de professeur de mathématiques...
Cependant il fait une petite erreur en considérant comme exceptionnel que la somme des 4 termes du carré central et des quatre coins vaut encore 34 : c'est le cas pour les 880 carrés magiques d'ordre 4.
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1 mars 2010 1 01 /03 /mars /2010 22:32
Il s'agira d'un QCM sur la fonction logarithme népèrien (pas de logarithmes décimaux, ni de fonction exponentielle de base a, ni de fonctions racines n-ième).
Voici des textes sur le même sujet donnés en 2008 et 2009.
     Texte 2008  et sa correction
     Texte 2009   et correction du texte 2009

Attention : Je vous ai donné le texte du DS6'  et sa correction est donc à la fin du document.
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17 février 2010 3 17 /02 /février /2010 15:04
J'ai distribué un polycopié pour les deux premiers exercices de la feuille. Vous trouverez ici la correction de 3 autres exercices.
                              Début des corrections
                              Fin des corrections
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16 février 2010 2 16 /02 /février /2010 18:36
Vous trouverez ici les ROC concernant la fonction logarithme népèrien.

Le dernier sujet pose problème. Je ne vous ai pas démontré la propriété algébrique fondamentale de ln de cette façon. Le texte suggère de travailler dans l'esprit des anciens programmes (fonction ln étudiée avant la fonction exp).
C'est aussi un texte 2007. On peut espérer que ça n'arriverait plus, mais on ne peut pas être à l'abri de mauvaises surprises avec les ROC.

Ici, vous étudiez le sens de variation de la fonction annexe : g (x) = ln ax - ln x - ln a en la dérivant.
La dérivée g' sera nulle. La fonction g sera donc constante. Quelle constante ? Vous calculer g (1)...au hasard...et tout tombe tout seul...


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10 février 2010 3 10 /02 /février /2010 21:37
Les hommes et les femmes qui composent la division du général Georges Déployé, moins de 5000 âmes, ont une santé fragile. Lors des manoeuvres, le nombre de soldats à l'infirmerie est allé croissant.

Dès le deuxième jour, il y avait un absent : le général a fait défiler ses soldats par deux.
Le troisième jour, trois soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de trois.
Le quatrième jour, cinq soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de quatre.
Le cinquième jour, sept soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de cinq.
Le sixième jour, neuf soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de six.
Et ainsi de suite : chaque jour, deux absents supplèmentaires étaient signalés et les rangs comportaient un soldat de plus que la veille. Chaque rang était toujours complet.
Ainsi, le dixième jour des manoeuvres, il manquait dix-sept soldats, et la division défila par dix.

Quel est le nombre de soldats de la division du général Georges Déployé ?

                                jeux mathématiques du "Monde "

énigme de la semaine précédente
N = abcd le nombre. N = 1 000a + 100b + 10c + d
3N = 3 000a + 300b + 30c + 3d
3N - 16 = dcba équvaut à : 3 000a + 300b + 30c + 3d - 16 = 1 000d + 100c + 10b + a
Il est tentant d'isoler 16 et il vient : 2 999 a + 290 b - 70c - 997 d = 16.
Remarquons que si a >=4 alors 3N-16 >= 12000-16 et comme dcba  <=9999 , l'égalité est impossible.
a ne peut être nul : N est un nombre à 4 chiffres. Donc a = 1 ou a = 2 ou a = 3.

Raisonnons modulo 10 : 2 999 congru à 9    290 congru à 0     70 congru à 0           997 congru à 7   16 congru à 6
On cherche des entiers a, b, c, d entre 0 et 9 tels que 9a + 0b -0c - 7d congru à 6 modulo 10
9a - 7 d congru à 6 que l'on peut encore simplifier en -a + 3d  congru 6 mod 10   (9 congru à -1 et -7 congru 3) ou enfin      3d congru à  a +6     modulo 10
 
si a = 1 alors  d = 9
si a = 2 alors  d = 6
si a = 3 alors d= 3

Les couples (a;d) possibles sont (1 ; 9)  (2 ; 6)   (3 ; 3)  

Testons (1 ; 9) : 2999 + 290b - 70 c - 8973 = 16     soit 290 b - 70 c = 5990  soit 29b - 7c = 599 ou encore
29b = 599 + 7c.
29b vaut au maximum 29 * 9 = 261     et 599 +7c vaut au minimum 599. Une telle égalité est impossible.

Testons (2 ; 6) : 5998 + 290 b - 70 c - 5982d = 16    soit 290 c - 70 c = 0 !!! et donc  29c = 7 d
On peut partir sur le théorème de Gauss... d est multiple de 29 et c'est un chiffre : c'est donc 0 et c = 0.
Une première solution apparaît : 2006.

Testons (3 ; 3) : 8997 + 290b - 70c - 2991 = 16       soit   290b - 70 c = -5990    7c - 29b = 599   7c = 599 + 29b.
On montre comme pour (1 ; 9) qu'il ne peut y avoir de chiffre solution.

Vérification : 3 * 2006 - 16 = 6 002. 

 
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3 février 2010 3 03 /02 /février /2010 22:36
Prenez un nombre de quatre chiffres : abcd
Multipliez- le par 3.
Retranchez 16.
Vous trouvez alors son "retourné" : dcba.

Quel était le nombre initial ?


                         Jeux mathématiques du Monde


Enigme de la semaine précédente
Ma solution n'est peut-être pas la plus élégante pour traiter un cas particulier. Elle aura le mérite de pouvoir s'étendre dans un cadre général.
Supposons qu'un joueur laisse une allumette : il a perdu
Supposons qu'un joueur laisse deux allumettes : il a gagné (l'autre en tire une et en laisse une : voir au dessus)
Supposons qu'un joueur laisse 3 allumettes : il a perdu (l'autre en prendra une et en laissera 2 donc gagnera : voir au dessus)
Supposons qu'un joueur laisse 4 allumettes : il a perdu, c'est évident. Au fait, j'oubliais une donnée : on suppose que les deux joueurs sont également logiques...)
Supposons qu'un joueur laisse 5 allumettes : il a gagné. L'autre en laissera une ou quatre et perdra : voir au dessus.
Supposons qu'un joueur laisse 6 allumettes : il a perdu. L'autre en laissera 5 ou 2 et gagnera : voir au dessus.
Supposons qu'un joueur laisse 7 allumettes : il a gagné. L'autre en laissera 6 ou 3 et perdra : voir au dessus.
Supposons qu'un joueur laisse 8 allumettes : il a perdu. L'autre en laissera 7 et gagnera.
Supposons qu'un joueur laisse 9 allumettes : il a perdu, évident.
Supposons qu'un joueur laisse 10 allumettes : il a gagné. L'autre en laissera 9, 6 ou 1 et gagnera
Supposons qu'un joueur laisse 11 allumettes : il a perdu. L'autre en laissera 10.
Supposons qu'un joueur laisse 12 allumettes :  il a gagné. L'autre laissera 11 ou 8 ou 3 et perdra.
On a donc une solution à notre problème : Avec 28 allumettes au départ, en prenant 16 allumettes on en laisse 12 à l'autre joueurs et on gagne à coup sûr !
On voit bien que le raisonnement peut encore être poursuivi de proche en proche aussi loin que l'on veut : il suffit d'en avoir le courage...


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1 février 2010 1 01 /02 /février /2010 23:30
Voici la correction de quelques exercices des annales portant sur le PPCM.
Suivront d'ici peu quelques exercices utisant le petit théorème de Fermat.
Bonne préparation.
                                               Feuille 1                            Feuille 2
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1 février 2010 1 01 /02 /février /2010 18:40
Ce matin, j'ai fait une séance d'exercices sur les nombres complexes avec les quelques élèves présents.
Vous trouverez ici le texte et la correction.
Tout à fait dans l'esprit de ce que j'attends de vous demain après-midi.
Bonne préparation.

Pour information : il y aura une question de cours demain au DS !
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27 janvier 2010 3 27 /01 /janvier /2010 22:00
Voici la règle d'un jeu auquel vous pouvez vous adonner.
Deux joueurs disposent d'un tas d'allumettes. Chacun, à tour de rôle, ôte un certain nombre, non nul, d'allumettes du tas, ce nombre ôté devant être impérativement un carré parfait : 1, 4, 6, 16, 25...
Le joueur enlevant la dernière allumette a gagné.

Selon la taille du tas de départ, l'issue du jeu n'est pas le même.
Par exemple, avec 5 allumettes, le premier joueur perdra, puisqu'il est obligé de laisser 4 ou 1 allumettes à son adversaire qui emportera le tas.
Au contraire, avec 11 allumettes, le premier joueur en ôtera 9, ce qui obligera son adversaire à lui en laisser une pour la victoire finale.

Le tas initial contient 28 allumettes. Quelle doit être la stratégie du premier joueur pour être sûr de l'emporter ?

énigme de la semaine passée :
voir le commentaire...
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20 janvier 2010 3 20 /01 /janvier /2010 22:11
Les nombres 46 et 96 possèdent une propriété intéressante : leur produit ne change pas lorsqu'on permute leurs chiffres.
En effet : 46 × 96 = 64 × 69 = 4416.
Existe-t-il d'autres couples d'entiers de deux chiffres possédant la même propriété ?



Solution de l'énigme de la semaine passée.
Pour la première énigme, je vous invite à lire le commentaire.
Pour la deuxième énigme : on cherche donc deux nombres entiers L et l tels que :  2(L + l ) = L l
soit : 2L + 2 l = L l ou encore 2 L = L  l - 2 l = l (L - 2).          2 L = l  (L - 2).        
On peut déjà noter que L > 2 pour avoir L positive.  

l (L -2) est donc paire ce qui interdit d'avoir l et L-2 impairs. Comme L et L-2 ont la même parité, l et L ne peuvent pas être impairs tous les deux. L'un au moins est pair ,voire les deux.
Supposons que L soit pair et écrivons L = 2 L' :
on a alors 2 * 2 L' = l (2 L' - 2) = 2 l (L' -1).
Soit après simplification par 2    : 2 L' = l (L' - 1).
Un nombre entier et son suivant sont premiers entre eux donc (L'-1) et L' sont premiers entre eux et comme (L'-1) divise 2 L' ,on en déduit que L' - 1 divise 2 d'après le théorème de Gauss
L' - 1 peut donc prendre deux valeurs : 1 ou 2.
Si L' - 1 = 1 alors L' = 2 et L = 4 et l = 4.
Si L' - 1 = 2 alors L' = 3 et L = 6 et l = 3

Supposons maintenant que L soit impair : alors c'est l qui est pair et on écrit l = 2 l'.
2 L = 2 l'(L - 2)  et après simplification par 2 : L = l' (L - 2). On en déduit que L- 2 divise L. Comme L - 2 divise L - 2, on a aussi L- 2 qui divise la différence L - (L - 2) donc qui divise 2. Par conséquent L - 2 = 2 ou L - 2 = 1.
Soit L = 4 ou L = 3.
Or  L = 4  est impossible : on a supposé L impair
Quant-à L = 3, c'est absurde car alors l = 6 et une largeur par définition ne peut dépasser la longueur.

Réciproquement : on vérifie sans souci que le carré  4 sur 4 et le rectangle 6 sur 3 onrt une aire et un périmètre s'exprimant par un même nombre;.

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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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