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30 décembre 2010 4 30 /12 /décembre /2010 21:05

Question de cours (Métropole, septembre 2006)
Pré-requis
Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x → Ce
λx où C est une
constante réelle.
1. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle (E’
λ) :
z′ = −(λz + 1) telle que z(0) = 1.
2. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

Restitution organisée de connaissances (La Réunion, juin 2005)

On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :
(C)   f(−x)f′(x) = 1 pour tout nombre réel x et f(0) = −4
(où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.
1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la
fonction g définie sur R par g(x) = f(−x) f(x).
a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R.
b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g.
c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
d. On considère l’équation différentielle (E) y′ = 1/16 y.
Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu’elle vérifie f(0) = −4.
2. Question de cours
a. On sait que la fonction x  → e x/16 est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer
alors que l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies
sur R, de la forme x  → Ke x/16 , où K est un nombre réel quelconque.
b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la
valeur −4 en 0.
3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

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22 mai 2010 6 22 /05 /mai /2010 11:59
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2 avril 2010 5 02 /04 /avril /2010 17:36

La dernière question de cours n'est pas un cadeau...

 

ROC

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20 mars 2010 6 20 /03 /mars /2010 09:13
Deux sujets de ROC seulement sur les probabilités conditionnelles...


                                                              ROC
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16 février 2010 2 16 /02 /février /2010 18:36
Vous trouverez ici les ROC concernant la fonction logarithme népèrien.

Le dernier sujet pose problème. Je ne vous ai pas démontré la propriété algébrique fondamentale de ln de cette façon. Le texte suggère de travailler dans l'esprit des anciens programmes (fonction ln étudiée avant la fonction exp).
C'est aussi un texte 2007. On peut espérer que ça n'arriverait plus, mais on ne peut pas être à l'abri de mauvaises surprises avec les ROC.

Ici, vous étudiez le sens de variation de la fonction annexe : g (x) = ln ax - ln x - ln a en la dérivant.
La dérivée g' sera nulle. La fonction g sera donc constante. Quelle constante ? Vous calculer g (1)...au hasard...et tout tombe tout seul...


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16 janvier 2010 6 16 /01 /janvier /2010 11:56
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9 décembre 2009 3 09 /12 /décembre /2009 18:42
Rappel :
Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a ≡ b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b +7k.
1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
a. Soient a, b, c et d des entiers relatifs.
Démontrer que : si a ≡ b mod 7 et c ≡ d mod 7 alors ac ≡ bd mod 7.
b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls : si a ≡ b mod 7 alors pour tout entier naturel n, an ≡ bn mod 7.

2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que
an ≡ 1 mod 7.
3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a. Montrer que : a6 ≡ 1 mod 7.
b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel
non nul tel que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division
euclidienne de 6 par k vérifie ar ≡ 1 mod 7.
En déduire que k divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles de k ?
c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.
4. À tout entier naturel n, on associe le nombre An = 2n +3n +4n +5n +6n.
Montrer que A2006 ≡ 6 
mod 7.

PARTIE A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition,
lamultiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec lamultiplication.

PARTIE B
On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
βα712 = β×122 +α×12+7 = 11×122 +10×12+7 = 1711 en base 10
1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 : N1 = β1α12
Déterminer l’écriture de N1 en base 10.
b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 : N2 = 1131 = 1×103 +1×102 +3×10+1
Déterminer l’écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base12 :
           N = an · · · a1a012
2. a. Démontrer que N
a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3
d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3.
Confirmer avec son écriture en base 10.
3. a. Démontrer que N
an +· · ·+a1 +a0   (mod 11). En déduire un critère de divisibilité
par 11 d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11.
Confirmer avec son écriture en base 10.
4. Un nombre N s’écrit x4y
12.Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles
N est divisible par 33.



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3 décembre 2009 4 03 /12 /décembre /2009 10:12
J'ai créé une nouvelle catégorie  ROC ce qui vous permettra de les retrouver plus facilement.

Restitution organisée de connaissances. (Asie, juin 2008)
On suppose connu le résultat suivant : limite en
+∞ de ex/x = +∞

Démontrer que : limite en
+∞ de x e-x= 0


Restitution organisée de connaissances. (Amérique du Nord, juin 2007)
L’objet de cette question est de démontrer que limite en
+∞ de ex/x = +∞i

On supposera connus les résultats suivants :
• la fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée ;
• e0 = 1 ;
• pour tout réel x, on a ex > x.
• Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [A ; +∞[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [A ; +∞[, ψ(x) < =  ϕ(x) et si limite en
+∞ de ψ(x) = +∞, alors lim ite en +∞ de
ϕ(x) = +∞.
1. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = ex −x2/2
.
Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) > 0.
2. En déduire que limite en +∞ de ex/x= +∞


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25 octobre 2009 7 25 /10 /octobre /2009 09:27
Vous trouverez  ici les questions de cours sur les suites. Jai rajouté un QCM qui suivait une des questions de cours. Attention !!! Pièges !!!


Démonstration de cours (Liban, juin 2008) Prérequis : définition d’une suite tendant vers plus l’infini. « une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ».
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞.


Question de cours (Polynésie, juin 2005)
Prérequis : définition d’une suite tendant vers +∞.
« Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un
certain rang, supérieurs à A ».

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞.


Restitution organisée de connaissances. (Métropole, juin 2005)
Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.
Partie A : question de cours
On suppose connus les résultats suivants :
• deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est décroissante
et un − vn tend vers 0 quand n tend vers +∞;
• si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante,alors pour tout n appartenant à N, on a un <= vn .
 •toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est
convergente.
Démontrer alors la proposition suivante :
­
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».
Partie B
On considère une suite (un), définie sur N dont aucun terme n’est nul. On définit alors la suite
(vn) sur N par vn = −2/un

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente.
2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par −1.
3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.
4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.
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9 octobre 2009 5 09 /10 /octobre /2009 18:14
Une question de cours tombée sur le sujet dans la première question.
La deuxième question est faisable sauf l'expression de h(x)(à la fin du b)). Il faudra attendre le cours sur les primitives. Assez technique mais tout à fait en relation avec des thèmes abordés en classe ces jours-ci.




Restitution organisée de connaissances. (Métropole & la Réunion, septembre 2007)
1. Restitution organisée de connaissances La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d’elles si vraie ou fausse et justifier.
 Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
 – P : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xn ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f ′ donnée sur R par : f ′(x) = n xn−1.
– Q : Soit u une fonction dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par f = un ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f′ donnée par f ′ = n un−1.

2. On désigne par g la fonction définie sur ] − 1 ; 1[ par g(0) = 0 et g′(x) = 1/ √1 − x2 où g′ désigne la dérivée de la fonction g sur ] − 1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter g(x). On considère alors la fonction composée h définie sur ] − π ; 0[ par h(x) = g(cos x).
a. Démontrer que pour tout x de ] − π ; 0[ on a h′(x) = 1, où h′ désigne la dérivée de h.
b. Calculer h (− π /2 ) puis donner l’expression de h(x).


La correction de la deuxième question sur le Blog prochainement

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