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22 mars 2011 2 22 /03 /mars /2011 21:20

Je vous propose dans cet article de découvrir une loi qui règit tous les polyèdres classiques  de notre quotidien : cube, pavé, prisme, pyramide...Elle est élémentaire et pourtant il faudra attendre le XVIII siècle pour qu'elle soit découverte par Euler. Je vous invite à vérifier par vous même la validité de cette loi. La démonstration que j'en donne me semble intéressante car elle vous fera sortir des sentiers battus  du lycée.
Bonne lecture.
                                                                      Formule d'Euler


                                                                              suite

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21 mars 2010 7 21 /03 /mars /2010 11:01
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21 mars 2010 7 21 /03 /mars /2010 11:00
Vous trouverez dans cet article une application concrète du cours de probabilité utilisée en statistique pour effectuer certains types de sondages.
                    

                                                                                              méthode aléatoire

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3 mars 2010 3 03 /03 /mars /2010 17:49

mélancolie
Dans son dernier roman , Le symbole perdu, Dan Brown fait  référence  à deux reprises à des carrés magiques.
Si vous observez bien le tableau d'Albert Durer, en haut à gauche vous voyez le carré magique auquel il est fait allusion dans le roman.


16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Pour la petite histoire, Dan Brown est fils de professeur de mathématiques...
Cependant il fait une petite erreur en considérant comme exceptionnel que la somme des 4 termes du carré central et des quatre coins vaut encore 34 : c'est le cas pour les 880 carrés magiques d'ordre 4.
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16 novembre 2009 1 16 /11 /novembre /2009 11:22
Voici une nouvelle application des congruences  : les codes barres.
L'article a été écrit pour les TL, et se présente sous la forme d'un TD.
Vous y trouverez les mêmes types de questions que pour les clés de contrôles étudiées en classe.

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19 octobre 2008 7 19 /10 /octobre /2008 21:57
Aujourd'hui je vous invite à aller faire un petit tour à la cuisine autour d'une batterie de casseroles. On peut dire qu'elles ont toutes à priori la même forme quelle que soit leur taille.
Munissez vous d'un double décimètre et mesurez le diamètre et la hauteur : on remarque que le diamètre est le double de la hauteur, autrement dit la hauteur de la casserole est égale à son rayon ( pratiquement )
.
Essayons de comprendre pourquoi.
Imaginez vous un instant fabriquant de casseroles. Vous voulez construire une casserole de volume V fixé. Vous voulez bien entendu minimiser le coût de fabrication et donc minimiser la quantité de matière première nécessaire à sa fabrication.
Le problème mathématique qui se pose est le suivant : de tous les cylindres (sans couvercle...) de volume fixé quel est celui dont l'aire est minimale ?
Commençons par calculer la surface d'une casserole : un fond d'aire  pi R² et le côté d'aire
 2pi R h. (R est le rayon de la casserole et h sa hauteur).
Le volume étant fixé à V, R et h sont liés par : pi R² h = V. Il est assez tentant d'exprimer alors h en fonction de R par : h = V/(pi R²).
L'aire de la casserole est donc : A = pi R² + 2pi R h = pi R² + 2 pi R * (V/pi R²) = pi R² + 2V/R
Et nous avons exprimé l'aire de la casserole en fonction de son rayon R.
Nous allons tout naturellement considérer la fonction définie entre 0 et + infini par :
          A(R) = pi R² + 2V/R.
Nous la dérivons : A'(R) = 2 pi R - 2 V/R².
Un extremum sera atteint quand A'(R) = 0 soit 2pi R = 2V/R² ou encore : V = pi R3
Pour être certain d'avoir un minimum, il faudrait regarder le signe de la dérivée, je vous en laisse le soin...
Reprenons l'écriture de h = V/(pi R²).  Je vous laisse remplacer V par pi R3 : tout s'arrange pour le mieux et nous obtenons h = R !
Et voilà, il faut construire des casseroles de rayon égal à la hauteur pour minimiser la quantité de matière première nécessaire à leurs fabrications.





 
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3 octobre 2008 5 03 /10 /octobre /2008 21:02
Munissez vous d'une feuille de papier A4 . Mesurez la longueur L et la largeur l  et calculer le quotient L / l . Ce nombre est appelé format de la feuille.
Vous allez maintenant plier la feuille suivant la médiatrice des deux longueurs. Vous récupérez une nouvelle feuille dont la largeur est la moitié de la longueur précédente et dont la longueur est l'ancienne largeur. Effectuons le calcul du format de cette nouvelle feuille. Surprise  : il est inchangé.
Recommençons le processus : plions la feuille suivant le même axe de symétrie, calculons le nouveau format : il est encore inchangé.
Bref, vous pouvez recommencer, le format ne change jamais !
Ceci est bien entendu intéressant pour faire des réductions ou agrandissement d'un document : on conservera toujours les proportions.

Ces observations étant faites, nous allons maintenant voir à quelles conditions elles peuvent avoir lieu.
La première feuille a une longueur L, une largeur l et donc un format f = L / l
La deuxième feuille a une longueur L' = l, une largeur l ' = L / 2 et donc un format f ' = L' / l' = 2 l / L.
On veut : f = f ' ce qui nous conduit à : f = 2 * l / L = 2 * 1 / f.
On a donc f ² = 2 et f = racine carrée de 2. (environ 1,414 valeur très proche de celles observées dans la phase d'observations).

Mais maintenant ces longueurs et largeurs curieuses : 29,7 cm et 21,1 cm d'où sortent-elles ?
Décidons de fabriquer une feuille rectangulaire de format racine carrée de 2 et d'aires 1 m².
(pour la suite je noterai rc2 la racine carrée de 2).
On aura  L = l * rc2 et L * l = l * rc2 * l = 1 d'où : l ² * rc2 = 1.
On en tire que l ² = 1/rc2 et donc enfin l = rc (1/rc2) = 1/rc(rc2).
Valeur pas trop sympatique qui vaut environ 0,8409 m ou 84,09 cm.
La longueur sera rc(2) * l soit environ 1,1892 m ou 118,92 cm.
Vous avez là les dimensions d'une feuille dite de format standard A0.
Tous les autres formats s'en déduisent :
Format A0 : 118,92 cm sur 84,09 cm.
Format A1 : 84,09 cm sur 59,46 cm.
Format A2 : 59,46 cm sur 42,04 cm.
Format A3 : 42,04 cm sur 29,73 cm
Format A4 : 29,73 cm sur 21,02 cm.
Format A5 : 21,02 cm sur 14,86 cm.

Vous voyez donc que les dimensions de ces feuilles que nous utilisons tous les jours, ne sont pas le fruit du hasard mais d'une réflexion mathématique.



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1 octobre 2008 3 01 /10 /octobre /2008 22:55
Dans les semaines à venir , j'ai l'intention de vous faire découvrir la présence des mathématiques dans votre quotidien, dans votre environnement, dans des situations qui vous sont familières mais où vous ne soupçonnez même pas leur présence.
Quelques surprises vous attendent !
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  • : Le blog de Alain ANDRE
  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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