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9 février 2011 3 09 /02 /février /2011 23:31

On a retrouvé le trésor de la fiancée de Joe le pirate ! Un vieux coffre rempli de vingt pièces marquées 1F, 2F, 3F, ...jusqu'à 20 F. Les pièces sont tellement abîmées par le temps qu'elles semblent toutes du même métal. Pourtant un papier à peine lisible précise que la valeur des 10 pièces de vermeil excède de 110 F celle des neuf pièces d'argent.

 

Combien vaut la pièce d'or ?

 

 

                                             Jeux mathématiques du "Monde"

 

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26 janvier 2011 3 26 /01 /janvier /2011 23:40

En descendant le fleuve, une péniche a mis 2 heures pour parcourir 60 Km. Pour revenir au point de départ, elle met 3 heures.

Quelle est la vitesse du courant en Km/h ?

 

Et celui-ci qui lui ressemble :

Jeannot met 2 heures en kayak pour descendre la rivière et 3 heures pour faire le trajet retour en pagayant à la même allure.

Combien de temps aurait-il mis pour couvrir la même distance totale, toujours à la même allure, mais sur un lac ?

 

 

solution de l'énigme précédente :

Pierre est le plus rapide, je note V sa vitesse et v la vitesse de Paul.

Soit t le temps mis par Pierre pour faire le 100 mètres : t = 100/V

Comme il rets encore 10 mètres à faire à Paul, il fait le 100 m en t' = t + 10/v.

 

Maintenant intéressons-nous à la deuxième course :

Paul va encore faire le 100 m dans le même temps t' = t +10/v.

Pierre lui , va faire les 110 m en le temps t'' =  10/V + t

Pour savoir qui va gagner, on doit comparer t' et t''. Or v < V donc 10/v > 10/V et t + 10/v > t + 10/V soit t' > t''.

C'est donc encore Pierre qui gagne.

 

 

 

Et cette petite blague  :

 

 

Jésus, debout sur son rocher, parle à ses disciples :
« y = ax2 + bx + c. »
Un des apôtres prend alors la parole :
« Écoute, Jésus, déjà d’habitude on ne comprend pas grand-chose à ce que
tu nous dis, mais là, franchement on est perdus. »
Jésus de rétorquer : « C’est normal, c’est une parabole... »

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19 janvier 2011 3 19 /01 /janvier /2011 21:16

Encore deux énigmes de Martin Gardner.

 

énigme 1

Trois jeunes couples dansent dans une discothèque. Les trois jeunes filles sont habillées l'une en rouge, l'autre en vert et la troisième en bleu.

Il en est de même des trois garçons qui sont habillés dans les trois mêmes couleurs. Tout en dansant avec sa partenaire, le garçon en rouge s'approche d'un autre couple et dit à la fille en vert : "C'est drôle, aucun de nous ne danse avec un partenaire de la même couleur !"

Qui danse avec qui ?

 

énigme 2

Pierre et Paul courent tous les deux un 100 mètres.

Pierre gagne avec dix mètres d'avance sur Paul. Ils décident alors d'une revanche, mais cette fois, Pierre part avec 10 mètres de retard sur Paul.

Si chacun d'eux court à la même vitesse que dans la première course, qui gagnera ?

 

énigme 1 : 1 animal de chaque sorte bien entendu, mais pas facile à expliquer...

 

énigme 2 : On peut faire très simple ou très compliqué...

Les deux missiles se rapprochent à la vitesse de 21 000 + 9000 soit 30 000 km/h. Une minute soit 1/60 d'heure avant la collision, ils seront donc à 30 000/60 Km de distance soit  500 km l'un de l'autre.

Les 1317 Km les séparant au départ ne servait à rien.

 

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12 janvier 2011 3 12 /01 /janvier /2011 22:59

Martin Gardner (1914-2010) est un journaliste Américain qui a tenu la rubrique de jeux mathématiques dans la revue Scientific American pendant 25 ans. Je vous propose deux petits problèmes caractéristiques : des énoncés toujours simples mais une résolution plus laborieuse sauf si on trouve "le truc"...

 

Combien ai-je d'animaux domestiques sachant que tous sauf deux sont des chiens, tous sauf deux sont des chats, tous sauf deux sont des perroquets ?

 

Deux missiles se dirigent l'un vers l'autre, le premier à la vitesse de 9000 Km/h, le second à la vitesse de 21 000 Km/h.

Lorsqu'ils sont lancés, ils sont à 1317 Km l'un de l'autre.

A quelle distance l'un de l'autre seront-ils une minute avant leur collision ?

 

 

énigme de la semaine passée :

Soit un le nombre de feuille à l'étape n

étape 0 :1 feuille donc u0 = 1

étape 1 : 8 feuilles donc u1 = 8

étape 2 : 7 + 8 = 15 feuilles donc u2 = 15

de l'étape n à l'étape n + 1 : une des n feuilles est déchirée et remplacée par 8 autres feuilles donc le nombre de feuille augmente de 8 - 1 = 7.

La suite un est arithmétique de raison 7 et de premier terme 1, on a donc un = 1 + 7 n.

On cherche le plus petit entier n tel que : un >= 2011   équivaut à 1 + 7n >= 2011    ou 7n >= 2010 n >= 2010/7

On obtient n = 288.

Ce problème a été donné en 2010 au Rallie et 2009 était multiple de 7. La réponse était donc 287.

 

explication de la blague :

Un couple de gardiens pour l'Obélisque à Paris ? C'est une pure imagination ! Mais vous savez bien que le produit de deux imaginaires purs est réel...

 

Nouvelle blague : Quel est le nombre le plus laid ?

       -1 bien entendu  car  -1 c'est i ².

Celle là elle était facile, j'aime bien celle ci :

C’est l’histoire de deux complexes z1 et z2 qui se promènent dans le demiplan inférieur. Aigris d’être délaissés de par leurs imaginaires négatifs, ils se disent : « Barrons-nous ! ».

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5 janvier 2011 3 05 /01 /janvier /2011 23:20

Un participant au Rallye s'énerve : il déchire en huit morceaux sa feuille de papier (première étape), puis il prend un des morceaux qu'il déchire de nouveau en huit (deuxième étape), et ainsi de suite (à chaque étape, il prend l'un des morceaux et le déchire en huit).

Au bout de combien d'étapes aura-t-il obtenu au moins 2011 morceaux (en admettant qu'il puisse déchirer tous les morceaux, mêmes les plus petits) ?

 

                                       D'après le Rallye mathématique sans frontière Midi Pyrénées

 

remarque : le problème était mieux adapté à l'année 2010...

 

 

Blague de matheux :

Pourquoi la fille des gardiens de l'Obélisque à Paris est-elle réelle ?

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8 décembre 2010 3 08 /12 /décembre /2010 22:24

Dans ce village d'Auvergne, on vient de faire, en l'an de grâce 1333, la récolte des châtaignes. L'année a été moyenne, et l'on n'a pas dépassé les 100 000 châtaignes.

Le seigneur prend évidemment sa dîme : on divise la récolte en dix parts égales, et comme il reste 1 châtaigne, le maître des lieux l'emporte avec sa part.

Le prévôt prend alors sa dîme, ou plutôt la dîme de ce qui reste : dans ce but on fait dix nouveaux tas, il reste une châtaigne que le prévôt emporte avec sa part.

On procède de même, dans l'ordre, avec le bailli, le curé et le bedeau. Chaque fois, coincidence extraordinaire, il reste une châtaigne une fois que dix tas égaux sont faits et elle est emportée avec le tas du notable.

Après le passage des cinq dignitaires, le reste des châtaignes est réparti entre les 48 familles du village.

 

Peuvent-elles toutes en prendre le même nombre ?

 

                                                                                             Jeux mathématiques du"Monde"

 

 

solution de l'énigme précédente

Dénombrons tout ce petit monde

Il y a le patriarche.

Il a eu n enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n² petits enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n3 arrières petits enfants.

Qui ont eu chacun n enfants donc cela nous fait n4 arrières arrières petits enfants.

Cela nous donne en tout :1 + n + n2 + n3 + n4 personnes.

Le fait que les chaises sont installées en carré se traduit par 1 + n + n2 + n3 + n4 est un carré parfait.

Bon, on peut estimer raisonnable de majorer n : cherchons n < 10 par exemple.

On peut utiliser le tableur de la calculatrice :

La seule valeur de n qui convient est 3.

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 = 11²

Toutes les personnes réunies ont donc eu 3 enfants.

 

 

 

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1 décembre 2010 3 01 /12 /décembre /2010 21:11

Le patriarche de cette famille a eu des enfants, des petits enfants, des arrières petits enfants et même des arrières arrières petits enfants. Tous sont vivants et en bonne santé et sont venus souhaiter (sans leurs conjoints) à l'ancêtre son anniversaire. Des chaises ont été installées en carré (il y a autant de chaises dans chaque rangée que de rangées de chaises), et elles sont toutes occupées lorsque l'ancêtre se rassoit à la fin de son discours.

Chose extraordinaire, toutes les personnes réunies (sauf bien sûr les arrières arrières petits enfants ) ont eu le même nombre d'enfants.

 

Combien ?

 

                                              Jeux mathématiques du Monde

 

 

Enigme de la semaine 10 :

La semaine 11 a été très chargée aussi pas d'énigme la semaine dernière...

On note x le nombre de vérats, y le nombre de truies et z le nombre de porcelets.

On a donc : 10 x + 5 y + 0,5 z = 100                et     x + y + z = 100

Pas pratique ce 0,5 : multiplions par 2 et il vient 20x +10y + z = 200

d'où l'on tire z = 200 - 20x - 10y = 10 (20 - 2x - y ).

Voilà un premier renseignement intéressant sur z : il est multiple de 10 et bien entendu < 100

Il peut prendre une des valeurs : 10,20,30,40,50,60,70,80,90

Au pire on teste les 9 valeurs (9 systèmes à résoudre et on veut des solutions entières naturelles).

Main on peut faire plus malin !

On a le système d'inconnues x et y :

                     2x  + y = (200 - z)/10

                        x + y = 100 - z

On a clairement 2x + y > x + y  (rappel, on travaille avec des entiers naturels)

donc z doit vérifier : (200 - z)/10 > 100 - z           ssi       200 - z > 1000 - 10z

                                                                                   ssi     9 z > 800

                                                                                   ssi        z > 88

Le seul multiple de 10 dépassant 88 est 90

Le marchand a donc acheté 90 porcelets. On en déduit facilement que x = 1 et y = 9

 

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17 novembre 2010 3 17 /11 /novembre /2010 22:46

C'est à Alcuin d'York que nous devons aussi le célèbre problème du loup de la chèvre et du chou.

Pour mémoire :

Un homme devait faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou. La seule barque qu'il put trouver ne pouvait transporter que deux d'entre eux à la fois, dont lui-même, mais il devait transférer les trois en bon état sur l'autre rive.

Comment s'y prit-il ?

 

Moins connu, dans le même esprit :

Trois amis, chacun accompagné d'une soeur, doivent traverser une rivière. Chacun d'eux convoite la soeur d'un autre.

Arrivés à la rivière, ils trouvent seulement une petite barque qui ne peut transporter que que deux personnes au plus à chaque voyage.

Comment peuvent-ils traverser la rivière sans qu'aucune des femmes ne soit déshonorée ?

 

remarque : Par " Chacun d'eux convoite la soeur d'un autre", il faut comprendre qu'il convoite les deux autres femmes, sinon c'est trop facile...

 

Aller, un dernier avec un peu de maths :

Un marchand voulait acheter une centaines de porcs pour 100 pence.

Pour un verrat, il paie 10 pence, et pour une truie 5 pence, tandis qu'il paie 1 penny pour deux porcelets.

Combien a-t-il pu acheter de verrats, de truies, de porcelets s'il a payé exactement 100 pence pour 100 animaux ?

remarque : pence était le pluriel de penny en ces temps anciens.

 

énigme de la semaine passée 

Voir les solutions en commentaire

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10 novembre 2010 3 10 /11 /novembre /2010 20:49

Un petit voyage dans le passé cette semaine.

Je vous propose  quelques problèmes d'Alcuin d'York né vers l'an 730, contemporain de Charlemagne à qui l'on doit un des premiers recueils de jeux mathématiques , son titre : "Problèmes pour aiguiser l'esprit de la jeunesse".

En 781 Charlemagne le fait venir à Aix-La -Chapelle pour réformer le système scolaire. Il jouera le rôle de ministre de l'Education jusqu'en 796.

Un ministre de l'éducation amateur de mathématiques, ça me fait rêver !

 

Un père et ses trois fils

Un père, lorsqu'il mourut, laissa à ses trois fils 30 jarres, dont 10 étaient pleines d'huile, 10 à motié pleines et les dix autres vides.

Partagez l'huile et les jarres de telle sorte que chacun reçoive le même nombre de jarres et la même quantité d'huile.

 

 

Deux hommes conduisant leurs boeufs

Deux hommes conduisaient leurs boeufs le long d'une route. Le premier dit au second : "donne moi deux boeufs et j'en aurai alors le même nombre que toi !". L'autre dit alors : " Mais si tu m'en redonnes deux, alors j'en aurai le double de toi !"

Combien de boeufs y avait-il au total, et combien en possédait chacun des deux hommes ?

 

énigme de la semaine précédente

Soit d le chiffre des dizaines et u le chiffre des unités de l'âge d'une des trois personnes.

On a d dans { 2,3,4,5,6,7,8,9} et u dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}  (d = 0 ou 1 semble peu raisonnable...)

Soit N le numéro du département.

Les hypothèses se traduisent par : d² + u² + N = 10 d + u.

Ou encore : 10d - d² + u - u² = N

J'ai alors rempli un tableau à double entrée : en ligne les 8 valeurs possibles de d et en colonnes les 10 valeurs possibles de u et dans chaque case la valeur de N correspondante.

Je remplis ligne par ligne.

A priori on a 80 cases à remplir, mais ce n'est pas utile car à un moment N devient négatif ce qui est impossible et on passe à la ligne suivante.

Bon, comment trancher et décider de la bonne valeur de N ? N est le nombre qui est apparu trois fois et trois fois seulement  ! Et seul19 répond à ce critère (bravo pour le concepteur de l'exercice).

Un peu de géographie maintenant : 19 est le numéro de la Corrèze et Tulle en est la préfecture.

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3 novembre 2010 3 03 /11 /novembre /2010 21:24

La même année, M et Mme Ducarré se sont rencontrés, se sont mariés, et ont adopté Daisy, une adorable tortue de mer. Ils vivent depuis un bonheur sans faille dans une petite préfecture de province.

"J'ai fait une curieuse remarque sur nos âges" dit un jour M Ducarré. "Si on ajoute les carrés des deux chiffres qui composent mon âge et le numéro de notre département on retrouve mon âge. Mais ce qui est étonnant, c'est que c'est encore vrai pour toi alors que tu  es nettement plus jeune que moi : si on ajoute les carrés des deux chiffres qui composent ton âge et le numéro de notre département on retrouve ton âge"

-"C'est absolument extraordinaire ! D'autant que c'est la même chose pour Daisy qui est pourtant la plus vieille des trois. Si on ajoute les carrés des deux chiffres qui composent son âge et le numéro de notre département on retrouve son âge ! Tu crois que si on avait un enfant, ce serait la même chose ?"

-Non. Nos trois âges sont les seuls à avoir cette particularité

 

Dans quelle ville les époux Ducarré habitent -ils ?

 

                                 Jeux mathématiques du "Monde"

 

 

Solution de l'énigme 7

Ne semble pas avoir eu de succès ?

L'âge de M. Dupont est un diviseur de 2450. On en dresse la liste.

2450 = 1 * 2450 = 2 * 1225 = 5 * 490 = 7 * 350 = 10 * 245 = 14  * 175 = 25 * 98 = 35 * 70 = 49 * 50

Pour un père de deux enfants, il semble raisonnable de prendre l'âge de M Dupont dans la liste : 25, 35, 49, 50.

J'élimine 70 car l'histoire se passe en ces temps heureux où la retraite était à 60 ans et on nous dit que le capitaine est plus âgé que M Dupont...

Si M Dupont a 25 ans, le produit des âges des deux filles est 98 = 1 * 98 = 2 * 49 = 7 * 14   peu raisonnable...

Si M Dupont a 35 ans, lle produit des âges des deux filles est 70 = 2 * 35 = 5 * 14 = 7 * 10

35 + 5+ 14 = 54 n'est pas multiple de 4

35 + 7 + 10 = 52 = 4 * 13    Le fils pourrait avoir 13 ans

Si M Dupont a 49 ans, le produit des âges des deux filles est 50 = 1 * 50 = 2 * 25 = 5 * 10

49 + 2 + 25 = 76 = 4 * 19    Le fils pourrait avoir 19 ans

49 + 5 + 10 = 64 = 4 * 16    Le fils pourrait avoir 16 ans

Si M Dupont a 50 ans, le produit des âges des deux filles est 49 = 1 * 49 = 7 * 7 (deux jumelles, pourquoi pas ?)

50 + 7 + 7 = 64 = 4 * 16   Le fils pourrait avoir 16 ans.

Bien, maintenant réciproquement, si le fils avait 13 ans il pourrait conclure l'âge de M Dupont et de ses filles : 35, 5, 14.

Si le fils avait 19 ans , il pourrait conclure l'âge de M Dupont et de ses filles : 49, 2, 25.

S'il ne peut pas répondre, c'est qu'il a 16 ans et qu'il hésite entre les deux solutions : 49, 5, 10 ou 50, 7, 7.

Maintenant si le faît de savoir que son père est plus âgé que M Dupont lui permet de conclure, c'est que le capitaine a juste 50 ans (s'il avait plus, l'ambiguité ne serait pas levée). M Dupont a donc 49 ans et ses filles 5 et 10 ans.

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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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