Le blog de Alain ANDRE

Pour bien  comprendre ce qui va suivre, il faut savoir que  l'ensemble des nombres réels est constitué de deux grandes familles, d'une part les nombres rationnels qui peuvent s'exprimer sous la forme d'un quotient de deux  entiers et d'autre part  les nombres irrationnels comme pi et racine carrée de 2.
Il vous faut savoir aussi que tout intervalle non vide de R (d'amplitude aussi petite soit-elle) contiendra à la fois des nombres rationnels et  des nombres irrationnels.  Autrement dit,  aussi proche que vous vous placez d'un nombre réel fixé,  vous trouverez des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

Considérons la fonction définie sur R de la façon suivante :
        Si x est rationnel, f(x) = 1.
        Si x est irrationnel, f(x) = 0.
Pas bien compliqué à priori.  La fonction ne prend que deux valeurs : 0 ou 1.
exemple :  f(2) = 1    f(3/4) = 1    f(pi) = 0 ...
Cette fonction porte le nom de fonction caractéristique des rationnels.
Je vais vous expliquer qu'elle ne possède pas de limite en aucun  réel.
Reprenons la définition vue en cours :
Dire que f admet pour limite L  en a, signifie que tout intervalle ouvert  I contenant L contient toutes les valeurs f (x) dés que x sera assez proche de a.
C'est parti pour un peu de logique.
Exprimons que f n'admet pas L pour limite en a.
Si on trouve un intervalle ouvert I contenant L (un contre exemple), tel que aussi proche que nous nous plaçions de a on puisse toujours trouver un réel x dont l'image f(x)  sorte de I alors L ne peut être la limite.
A  méditer avant de lire la suite. ..

Bien, appliquons cela à la fonction  caractéristique des rationnels.
Soit a un réel.
Cette fonction ne prenant que les valeurs 0 ou 1, si la limite en a existe ce ne peut- être que 0 ou 1.
Est- ce 0 ? Je choisis l'intervalle ouvert  I = ] -0,5 ; 0,5[ . Il contient bien 0. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre rationnel (c'est la remarque préliminaire) et l'image de ce rationnel sera 1 et 1 n'appartient pas à  I.     0 ne peut pas être la limite.

Essayons 1 comme limite. Je choisis l'intervalle J = ]0,5 ; 1,5[ . Il contient bien 1. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre irrationnel et l'image de cet irrationnel sera 0 et  0 n'appartient pas à J. Donc 1 ne peut pas non plus être la limite.
Voilà donc une fonction qui n'admet des limites nulle part...
Conséquence immédiate : elle est discontinue en tout nombre réel a (article à suivre...)

Autre curiosité de cette fonction : sauriez vous tracer sa représentation graphique ?

Nous venons d'établir des critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10. Ce sont les seuls exigibles d'un lycéen.

Je vais vous montrer qu'il n'est pas bien difficile d'établir d'autres critères.

J'aimerais par exemple savoir si un entier est divisible par 7.

Si c'est un nombre à deux chiffres, il nous suffira de connaître notre table de 7 ou de faire la division de tête...

Intéressons nous à un nombre à 3 chiffres.

Commençons par écrire : 100 = 7 * 14 + 2. On en déduit que 100 est congru à 2 modulo 7.

Maintenant si le nombre s'écrit cdu en base 10, il vaut c* 100 + du et il est donc congru à 2*c + du   modulo 7.

Concrètement :

on sépare le chiffre des centaines des deux autres, on calcule 2*c + du : si c'est un multiple de 7 alors cdu aussi est multiple de 7, sinon cdu n'est pas multiple de 7.

Voici deux exemples :    525 est-il multiple de 7 ?   Je calcule 2*5 + 25 = 35 qui est multiple de 7 donc 525 aussi.

743 est-il multiple de 7 ?   Je calcule 2 *7 + 43 = 57 qui n'est pas multiple de 7 donc 743 non plus. Remarquez qu'en prime je connais le reste de la division par 7 qui est 1, puisque 57 = 7 * 8 + 1.

Bon, et pour un nombre à 4 chiffres ? Je vais bien entendu effectuer la division de 1000 par 7.

1000 = 142 * 7 + 6.

1000 est congru à 6   modulo 7, donc aussi congru à -1. J'aime bien les congruences à -1 !

Considérons l'entier mcdu. Il vaut m * 1000 + cdu et il est donc congru à -1 * m + cdu ou cdu - m.

Et voilà mon critére qui tombe tout seul : j'isole le chiffre des milliers. Je le retranche au nombre cdu.

J'obtiens un nombre à 3 chiffres auquel j'applique le critère précédent pour les nombres à 3 chiffres.

Encore deux exemples :

3257 est-il multiple de 7 ?     Je calcule 257 - 3 = 254 puis 2 * 2 + 54 = 58. Non 7 ne divise pas 3257.

2324 est-il multiple de 7 ?     Je calcule 324 - 2 = 322 puis 2 * 3+ 22 = 28 = 7 * 4.   7 divise 2324.

Il est facile d'adapter la méthode pour un nombre à 5 chiffres ...

Remarquez encore que le critère est lié au choix de la base d'écriture des nombres.

Que pensez-vous du critère de divisibilité par 7 d'un entier écrit en base 8 ?

Nous avons, ces derniers temps, utilisé le résultat suivant : si a est solution de l'équation P(x) = 0 alors le polynôme P(x) peut s'écrire       (x - a) Q(x) autrement dit  : on peut le factoriser par (x-a).
Ce résultat était encore au programme il n'y a pas si longtemps et je vais vous le démontrer.

                                         Démonstration

Vous trouverez ici une démonstration plus générale du résultat démontré dans l'exercice 3 du bac blanc.

Les arguments utilisés sont uniquement géométriques et tout à fait dans l'esprit du programme de spécialité.

Les élèves de TS2 pourront y trouver l'occasion de revoir des raisonnements et des techniques des classes précédentes.