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30 décembre 2010 4 30 /12 /décembre /2010 21:05

Question de cours (Métropole, septembre 2006)
Pré-requis
Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x → Ce
λx où C est une
constante réelle.
1. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle (E’
λ) :
z′ = −(λz + 1) telle que z(0) = 1.
2. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

Restitution organisée de connaissances (La Réunion, juin 2005)

On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :
(C)   f(−x)f′(x) = 1 pour tout nombre réel x et f(0) = −4
(où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.
1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la
fonction g définie sur R par g(x) = f(−x) f(x).
a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R.
b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g.
c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
d. On considère l’équation différentielle (E) y′ = 1/16 y.
Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu’elle vérifie f(0) = −4.
2. Question de cours
a. On sait que la fonction x  → e x/16 est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer
alors que l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies
sur R, de la forme x  → Ke x/16 , où K est un nombre réel quelconque.
b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la
valeur −4 en 0.
3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

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Published by ANDRE - dans ROC
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  • : Le blog de Alain ANDRE
  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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