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24 mars 2010 3 24 /03 /mars /2010 11:00
Vous trouverez ici le DS de 2007-2008 sur les logarithmes ainsi que sa correction. C'était un devoir de deux heures.


DS6

DS6 suite


correction (1)

correction (2)

correction (3)


Encore un autre exercice d'entraînement (France 2007)

Texte
 
Correction
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22 mars 2010 1 22 /03 /mars /2010 22:53
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21 mars 2010 7 21 /03 /mars /2010 11:01
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21 mars 2010 7 21 /03 /mars /2010 11:00
Vous trouverez dans cet article une application concrète du cours de probabilité utilisée en statistique pour effectuer certains types de sondages.
                    

                                                                                              méthode aléatoire

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20 mars 2010 6 20 /03 /mars /2010 09:13
Deux sujets de ROC seulement sur les probabilités conditionnelles...


                                                              ROC
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17 mars 2010 3 17 /03 /mars /2010 21:47
Une énigme qui colle parfaitement au cours de cette semaine.
On va s'intéresser à l'événement : l'espion gagne

Au minimum une partie demande de jeter 3 dés.
L'espion gagne après trois lancers signifie que l'on a obtenu :" blanc, blanc, blanc"     ou "bleu, bleu, bleu "   ou  " rouge, rouge, rouge"    chacun de ces événements ayant pour probabilité (1/3)^3 = 1/27
L'espion gagne après 3 lancers a donc pour probabilité 3 * 1/27 = 1/9.

Maintenant" l'agent secret gagne après trois lancers "signifie que l'on a obtenu bleu, blanc, rouge dans tous les ordres possibles : cela nous fait 6 possibilités ayant encore chacune une probabilité de 1/27 donc l'espion gagne après trois lancers avec une probabilité de  6/27 = 2/9

Finalement la partie se prolonge avec une probabilité de 1 - 1/9 - 2/9 = 6/9 = 2/3. On a alors obtenu deux fois une même couleur et une troisième couleur (peu importe l'ordre) : C1  C1  C2

Sachant que la partie demande un quatrième lancer : On obtient sur le quatrième dé C1, C2 ou C3.

Si on obtient C1 : l'espion a gagné et la probabilité que l'espion gagne après 4 lancers est donc : 1/3 * 2/3 = 2/9.
Si on obtient C3, l'agent secret a gagné.
Si on obtient C2 : C1  C1 C2  C2   ne permet pas de départager et un cinquième lancer est nécessaire.
La probabilité qu'un cinquième lancer soit nécessaire est encore encore 1/3 * 2/3 = 2/9
Sachant qu'un cinquième lancer est nécessaire : On obtient sur le cinquième dé C1, C2 ou C3

Si c'est C1 ou C2 l'espion gagne et la probabilité que l'espion gane au cinquième lancer est donc : 2/9 * 2/3 = 4/27.
Si c'est C3 : l'agent secret a gagné.
On sait donc déjè qu'il faut au plus 5 lancers pour connaître le gagnant.
L'espion gagne avec une probabilité de  : 1/9 + 2/9 + 4/27 = (3 + 6 + 4)/27 = 13/27.
L'agent secret gagnera donc avec une probabilité de 1 - 13/27 = 14/27.  Léger avantage...


Cette semaine, pas de nouvelles énigmes. Je vous invite à écouter cette chanson de Jean Ferrat.






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10 mars 2010 3 10 /03 /mars /2010 22:36

Comme l'an passé, je vais faire le lien avec le cours de probabilité. Dans cette énigme vous aurez à utiliser la notion d'événements indépendants (on y arrive...)

L'avenir d'un pays tout entier dépend de la partie de dés acharnée qui se joue entre "l'agent secret" et "l'espion". Ils utilisent pour la circonstance un certain nombre de dés identiques non pipés à 6 faces qui ont la particularité de compter deux faces bleues, deux faces blanches et deux faces rouges.
Chacun à son tour lance un dé et le laisse sur la table. La partie s'arrête dès que l'une des configurations suivantes se produit.
-. On peut former avec les faces supérieures de trois dés joués la combinaison "bleu-blanc-rouge" (l'ordre n'intervient pas), auquel cas l'agent secret a gagné.
-. Trois des faces supérieures des dés joués sont de la même couleur, auquel cas c'est l'espion qui l'emporte.

Combien de dés, au maximum, seront lancés lors de la partie ?
Qui a le plus de chances de l'emporter, et avec quelle probabilité ?


                                                                 Jeux mathématiques du Monde


Enigme précédente : semaine chargée, on verra ça plus tard...

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8 mars 2010 1 08 /03 /mars /2010 12:00
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4 mars 2010 4 04 /03 /mars /2010 23:19
La grille de correction du QCM n'aide pas beaucoup, aussi je vous ai rédigé une correction détaillée.
                                                                       Correction


Il y a deux erreurs dans la grille précédente : je les ai signalées dans la correction.
Bonne préparation.
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3 mars 2010 3 03 /03 /mars /2010 23:19
Dans l'esprit des carrés magiques.
Peut-on disposer en carré, comme le suggère la figure, les entiers de 1 à 8, de manière que la somme des nombres situés sur chacune des lignes et des colonnes du périmètre soit la même ?



 


(on veut un périmètre magique)

Solution de l'énigme 20 : (je ne détaille pas...)
On est amené à résoudre le système de congruences suivant :
N congru à 1 modulo 2
N congru à 0 modulo 3
N congru à 1 modulo 4
N congru à 2 modulo 5
N congru à 3 modulo 6
N congru à 4 modulo 7
N congru à 5 modulo 8
N congru à 6 modulo 9
N congru à 7 modulo 10
On peut simplifier en remarquant que si
N congru à 1 modulo 4 alors N congru à 1 modulo 2
Si N congru à 3 modulo 6 alors N congru à 0 modulo 3.
Si N congru à 5 modulo 8 alors N congru à 1 modulo 4.
Si N congru à 7 modulo 10 alors N congru à 2 modulo 5.
Finalement, le système se résume aux 5 dernières équations.
N congru à 3 modulo 6     (1)
N congru à 4 modulo 7     (2)
N congru à 5 modulo 8     (3)
N congru à 6 modulo 9     (4)
N congru à 7 modulo 10
   (5)

(4) et (5) : N = 90 k -3  (6)
(6) et (3) : N = 360 k' + 357.    (7)
(1) et (2) : N = 42 k'' - 3     (8)
(8) et (7) : N = 2520 K + 7557.
La contrainte N < 5000 conduit à K = -2 puis à N = 2517.
C'est une solution possible mais il y a plus astucieux : à partir du système écrit en gras, on peut voir que N + 3 est congru à 0 modulo 6, modulo 7, modulo 8, modulo 9 et modulo 10.
N + 3 est donc un diviseur commun à 6, 7, 8, 9 et 10. Donc un multiple du PPCM de 6,7,8,9 et 10. On le calcule : il vaut 8 * 9 * 5 * 7  = 2520. La contraite N < 5000 nous conduit à N + 3 = 2520 et on retrouve N = 2517.



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