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9 décembre 2009 3 09 /12 /décembre /2009 23:24
La lune de la planète Fantastica tourne autour de l'astre en quatre jours. Cette période rythme la vie de la planète, peuplée de bestioles plus ou moins sympathiques qui s'entre-dévorent selon des cycles immuables de quatre jours.
Le premier jour du cycle, chaque dragon engloutit un monstre.
Le deuxième jour, chaque vampire anéantit un dragon.
Le troisième jour, chaque monstre avale un vampire.
Le quatrième jours, les bêtes digèrent.
... et on recommence.
La population décroît, il faut bien le dire, très rapidement. Ainsi, six lunes et un jour après le pasage de l'agent de recensement (toujours par prudence un jour de digestion), les deux derniers dragons engloutirent les deux derniers monstres et se proclamèrent les maîtres de la planète.

Combien le recensement faisait-il état de dragons, de monstres et de vampires ?

                  Jeux mathématiques du "Monde"
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9 décembre 2009 3 09 /12 /décembre /2009 18:42
Rappel :
Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a ≡ b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b +7k.
1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
a. Soient a, b, c et d des entiers relatifs.
Démontrer que : si a ≡ b mod 7 et c ≡ d mod 7 alors ac ≡ bd mod 7.
b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls : si a ≡ b mod 7 alors pour tout entier naturel n, an ≡ bn mod 7.

2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que
an ≡ 1 mod 7.
3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a. Montrer que : a6 ≡ 1 mod 7.
b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel
non nul tel que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division
euclidienne de 6 par k vérifie ar ≡ 1 mod 7.
En déduire que k divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles de k ?
c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.
4. À tout entier naturel n, on associe le nombre An = 2n +3n +4n +5n +6n.
Montrer que A2006 ≡ 6 
mod 7.

PARTIE A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition,
lamultiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec lamultiplication.

PARTIE B
On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
βα712 = β×122 +α×12+7 = 11×122 +10×12+7 = 1711 en base 10
1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 : N1 = β1α12
Déterminer l’écriture de N1 en base 10.
b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 : N2 = 1131 = 1×103 +1×102 +3×10+1
Déterminer l’écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base12 :
           N = an · · · a1a012
2. a. Démontrer que N
a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3
d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3.
Confirmer avec son écriture en base 10.
3. a. Démontrer que N
an +· · ·+a1 +a0   (mod 11). En déduire un critère de divisibilité
par 11 d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11.
Confirmer avec son écriture en base 10.
4. Un nombre N s’écrit x4y
12.Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles
N est divisible par 33.



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9 décembre 2009 3 09 /12 /décembre /2009 00:04
Exemple 3 : résolution de y ' + 3 y = x e-3x

En conclusion : retenez la forme générale des solutions de l'équation : y ' - a y = b(x).

             On ajoute une solution particulière aux solutions de l'équation y' = a y.

Cela fera l'objet d'un théorème l'an prochain, mais vous cette année vous devrez le redémontrer au cas par cas dans chaque exercice où ça sera nécessaire...
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3 décembre 2009 4 03 /12 /décembre /2009 10:12
J'ai créé une nouvelle catégorie  ROC ce qui vous permettra de les retrouver plus facilement.

Restitution organisée de connaissances. (Asie, juin 2008)
On suppose connu le résultat suivant : limite en
+∞ de ex/x = +∞

Démontrer que : limite en
+∞ de x e-x= 0


Restitution organisée de connaissances. (Amérique du Nord, juin 2007)
L’objet de cette question est de démontrer que limite en
+∞ de ex/x = +∞i

On supposera connus les résultats suivants :
• la fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée ;
• e0 = 1 ;
• pour tout réel x, on a ex > x.
• Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [A ; +∞[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [A ; +∞[, ψ(x) < =  ϕ(x) et si limite en
+∞ de ψ(x) = +∞, alors lim ite en +∞ de
ϕ(x) = +∞.
1. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = ex −x2/2
.
Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) > 0.
2. En déduire que limite en +∞ de ex/x= +∞


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2 décembre 2009 3 02 /12 /décembre /2009 22:43
Un canard sauvage met 9 jours pour aller de Norvège au Maroc et 7 jours pour aller du Maroc en Norvège.  Deux canards partent ensemble l'un de Norvège, l'autre du Maroc. On suppose que chacun d'eux vole en ligne droite à vitesse constante
Combien de temps après leur envol se rencontreront-ils ?


énigme de la semaine précédente :
J'avais donné une indication : chercher un invariant.
Appelons j , r , v le nombre de caméléons jaunes, rouges, verts à un instant donné sur l'île.
Supposons qu'un caméléon jaune rencontre un caméléon rouge : le nombre de caméléons jaune devient j' =  j - 1, le nombre de caméléons rouges devient  r' = r - 1 et le nombre de caméléons verts devient v' =  v + 2.
La différence j'  - r' = j -r.
La différence v' - r' = (v + 2) - (r - 1) = (v - r ) +3.
La différence v' - j' = (v + 2) - (j - 1) = (v - j ) +3.
A chaque rencontre la différence entre les nombres de caméléons de chaque couleur soit ne change pas, soit varie de 3.
(J'ai détaillé un jaune rencontrant un rouge, il en va de même bien entendu pour les autres rencontres)
En langage de congruence : j - r congru 10 - 7 congru   mod 3
                                                    v - r congru 17 - 10  congru 7 congru 1    mod 3
                                                    v - j congru 17 - 7    congru 10 congru  1 mod 3
Raisonnons maintenant par l'absurde :
Peut-on avoir j = 34  r = 0    v = 0   (tous les caméléonsjaunes)? : non car on aurait
 j - r congru 34 congru 1  mod 3
Peut-on avoir j = 0    r = 34  v = 0   (tous les caméléons rouges) ? : non pour la même raison.
Peut on avoir j = 0   r = 0     v = 34 ?  j - r congru 0    mod 3
                                                                 v - j congru 34 congru 1  mod 3
                                                               v - r congru   34  congru 1 mod 3
Il n'y a pas d'incompatibilité. C'est donc la seule possibilité : tous les caméléons sont verts.
Je vous laisse réfléchir à la question suivante...

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27 novembre 2009 5 27 /11 /novembre /2009 15:51
Je réalise que l'exercice mis sur le Blog est le même que celui du TD de Jeudi...
Désolé pour ce petit cafouillage.
Voici d'autres exercices intéressants sur la fonction exponentielle.
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25 novembre 2009 3 25 /11 /novembre /2009 21:00
Cette semaine je vais commencer par la résolution  de l'énigme précédente.
Commençons par remarquer qu'il y a deux types de jetons : les  4 jetons d'angle et les 5 autres jetons.
Sur les 4 jetons d'angle, 1 seul est blanc.

Imaginons que l'on retourne une ligne (ou colonne, ou diagonale) ne comportant aucun jeton d'angle blanc : nous allons récupérer une nouvelle ligne comportant 2 jetons d'angle blancs : le nombre de jetons d'angle blancs est augmenté de 2.

Imaginons que l'on retourne une ligne (colonne, diagonale) comportant un seul  jeton d'angle blanc : nous allons récupérer une nouvelle ligne comportant encore un seul jeton d'angle blanc (l'autre) : le nombre de jetons d'angle blancs n'a pas changé.

Imaginons que l'on retourne une ligne (colonne, diagonale) comportant deux jetons d'angle blancs : nous allons récupérer une nouvelle ligne comportant 0 jeton d'angle blanc : le nombre de jetons d'angle blancs a diminué de 2.

Bref à chaque retournement, le nombre de jetons d'angle blanc augmente de 2 ou  ne change pas ou diminue de 2.

On en déduit que la parité du nombre de jetons d'angle blancs est  invariante.
Il y en a 1, nombre impair au départ, il y en aura donc toujours un nombre impair quel que soient les manipulations que nous pratiquerons : 1 ou 3.

Or pour n'avoir que des jetons blancs, il faudrait que ce nombre soit 4, nombre pair. Il est donc impossible de récupérer les 9 jetons blancs !

Joli, vous ne trouvez pas ?
Moi , j'adore !

L'énigme de cette semaine est dans le même esprit : chercher un invariant

Sur une île déserte vivent 34 caméléons. Au départ, 7 sont jaunes, 10 sont rouges et 17 sont verts. Lorsque deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur (par exemple, un caméléon rouge et un caméléon vert deviennent jaunes). Lorsque se rencontrent deux caméléons d'une même couleur, il ne se passe rien. Au bout d'un an, tous les caméléons de l'île sont devenus de la même couleur.

Laquelle ? (Il faut non seulement déterminer la couleur mais prouver que c'est la seule possible.)

petit complément : changer les données numériques 34, 7, 10, 17 pour qu'il soit impossible de récupérer les caméléons d'une même couleur.
 
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25 novembre 2009 3 25 /11 /novembre /2009 11:05
Voici deux problèmes qui regroupent bien les techniques et les connaissances exigibles sur la fonction exponentielle. Le problème 2 est faisable dès ,maintenant. Pour le problème 1, les choses seront plus claires Lundi, bien que...


Problème 1
A. Soit g la fonction définie sur IR par : g (x) = 1 - e 2x - 2 x e 2x.
a. Déterminer les limites de g en + inf et en - inf.
b. Montrer que g '(x) a le signe de -1 - x.
c. Dresser le tableau de variation de g sur IR.
d. Calculer g (0). En déduire le signe de g (x).

B. Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = x + 3 - x e 2x.
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal : unité 2 cm.
a. Déterminer les limites de f en - inf et en + inf.
b. Calculer f '(x).
c. En utilisant A., étudier le sens de variation de f.
d. Montrer que la droite D d'équation y = x + 3 est asymptote à C en - inf.
Etudier la position relative de C et D.
e. Montrer que sur [0; + inf [, la courbe C coupe l'axe des abscisses en un seul point I.
Déterminer, un encadrement d'amplitude 0,1 de l'abscisse de I.
Sans justifier, donner une valeur approchée à 10-1 près de l'abscisse du point d'intersection J de C et de l'axe des abscisses sur ]-inf ; 0].
f. On note A le point de C d'abscisse -1. Ecrire une équation de la tangente T à C au point A.
Etudier la position relative de C et T.
g. Tracer la courbe C et les droites D et T.

Problème 2
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur IR par g (x) = ex (1 - x) + 1.
1) Etudier le sens de variation de g.
2) Démontrer que l'équation g (x) = 0, admet une unique solution dans l'intervalle
[1,27 ; 1;28]; on notera alpha cette solution.
3) Déterminer le signe de g (x) sur ]- inf ; 0].
Justifier que g (x) > 0 sur [0 ; alpha [ et que g (x) <0 sur ] alpha ; + inf[.

Partie B : Etude de la fonction f définie sur IR par :
f (x) = x/(ex + 1) +2.
On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; i; j);  unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Déterminer la limite de f en + inf et interpréter graphiquement ce résultat.
2) a) Déterminer la limite de f en - inf.
b) Démontrer que la droite (d) d'équation y = x + 2 est une asymptote pour Cf .
c) Etudier la position de Cf par rapport à (d).
3) a) Montrer que la fonction dérivée de f a le même signe que la fonction g étudiée dans le A).
b) Montrer qu'il existe deux entiers p et q tels que f (alpha) = p alpha + q.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4) Tracer la courbe Cf dans le repère (O; i; j) avec ses asymptotes et sa tangente au point d'abscisse alpha.



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24 novembre 2009 2 24 /11 /novembre /2009 22:40
Voici la correction de l'exercice 5 de la fiche de préparation au DS et de l'exercice 10 de la fiche sur les congruences.
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23 novembre 2009 1 23 /11 /novembre /2009 18:17
Je serai absent le mardi 24 Novembre.

Le devoir surveillé est reculé au mardi 1 Décembre et comptera pour le premier trimestre.
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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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