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12 janvier 2012 4 12 /01 /janvier /2012 23:17

Pour achever le cours sur la continuité, voici une petite application fantaisiste du théorème des valeurs intermédiaires :

A l'instant où vous lirez ces lignes, il y a au moins deux points de l'équateur diamétralement opposés où il y a la même température.
Surprenant vous ne trouvez pas ? Vous devez vous demander quel lien il peut bien y avoir entre le théorème des valeurs intermédiaires et la température sur l'équateur...

Ce n'est pas si compliqué.

Déjà on peut se mettre d'accord sur le fait que si vous vous déplacez pas à pas sur la ligne de l'équateur la température évoluera de façon continue : peu de chance d'avoir un "saut " brutal de température.
Voilà déjà la continuité qui fait son apparition, c'est un bon début...

Considérons maintenant la fonction T qui à un point de l'équateur associe la différence de température entre ce point et le point qui lui est diamétralement opposé. Nous voilà avec une fonction qui sera continue d'après la remarque précédente.
Prenons un point A de l'équateur au hasard. De deux choses l'une :
Soit au point B diamétralement opposé à A, la température est la même qu'en A et dans ce cas notre point A est un point qui répond au problème posé.
Soit la température y est différente. Supposons-la inférieure par exemple. Dans ce cas T (A) a un signe strictement positif.
Plaçons nous en B : T(B) = - T(A) donc T(B) est négatif strictement.
Je pense que vous avez deviné la suite :
Appliquons notre théorème des valeurs intermédiaires : il y a obligatoirement quelque part entre A et B un point M de l'équateur où on aura T (M) = 0. Mais cela signifie que en M et au point qui lui est diamétralement opposé les températures sont identiques.
Maintenant si vous supposez la température en B supérieure à celle de A, le raisonnement s'adapte sans problème.


Voilà, c'est prouvé !

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commentaires

Clovis Simard 03/08/2012 22:31


Blog(fermaton.over-blog.com),No-18, THÉOREME de GIOTTO.-L'époque des maths ?

(Clovis Simard,phD) 01/02/2012 16:45


Mon Blog(fermaton.over-blog.com),No-20, THÉORÈME ATOMIQUE.- FERMAT-WHILES-BOMBE ATOMIQUE ?

amaury 25/10/2010 12:05



oui c'est bien moi, c'etais bien cette question la qui étais posée, mais j'ai reussi a la resoudre en multipliant numérateur et dénominateur par cos2x ou 2cosx, je vais rechercher et je vous
dirais la reponse, merci quand meme



ANDRE 25/10/2010 15:07



Effectivement, je viens de m'y mettre : il suffit de multiplier haut et bas par 2 sin x pour voir apparaître (1 - cos 2x)/sin 2x.


Juste un problème en 0 à régler à part...Développement limité en 0 de cos x par exemple, mais je ne pense pas que tu es déjà fait ça ?)


Désolé d'avoir pensé à une erreur de texte de ta part...


A. André


 



amaury 19/10/2010 18:33



bonjour monsieur André. étant donné que j'ai un probleme dans la résolution d'un exercice important pour la préparation de mon DS j'aurais aimé avoir votre aide si ceci est possible. je dois
exprimer tanx en fonction de cos2x et sin2x et je reste bloqué car je trouve tan2x= 2tanx/(1-tan²x) mais pas tanx...  merci d'avance



ANDRE 20/10/2010 18:55



Es tu Guillou Amaury élève de l'an passé ?


Je pense que la question est de calculer cos 2x et sin 2x en fonction de tan x.
On obtient : cos 2x = (1 - tan² x)/(1 + tan²x)           et              sin 2x
= 2 tan x/(1 + tan² x)
C'est un résultat assez classique.


Si tu es certain de ton rexte fais le moi savoir et je chercherai


A.André



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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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