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16 novembre 2012 5 16 /11 /novembre /2012 23:23

Pour bien  comprendre ce qui va suivre, il faut savoir que  l'ensemble des nombres réels est constitué de deux grandes familles, d'une part les nombres rationnels qui peuvent s'exprimer sous la forme d'un quotient de deux  entiers et d'autre part  les nombres irrationnels comme pi et racine carrée de 2.
Il vous faut savoir aussi que tout intervalle non vide de R (d'amplitude aussi petite soit-elle) contiendra à la fois des nombres rationnels et  des nombres irrationnels.  Autrement dit,  aussi proche que vous vous placez d'un nombre réel fixé,  vous trouverez des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

Considérons la fonction définie sur R de la façon suivante :
        Si x est rationnel, f(x) = 1.
        Si x est irrationnel, f(x) = 0.

Pas bien compliqué à priori.  La fonction ne prend que deux valeurs : 0 ou 1.
exemple :  f(2) = 1    f(3/4) = 1    f(pi) = 0 ...
Cette fonction porte le nom de fonction caractéristique des rationnels.
Je vais vous expliquer qu'elle ne possède pas de limite en aucun  réel.
Reprenons la définition vue en cours :
Dire que f admet pour limite L  en a, signifie que tout intervalle ouvert  I contenant L contient toutes les valeurs f (x) dés que x sera assez proche de a.
C'est parti pour un peu de logique.
Exprimons que f n'admet pas L pour limite en a.
Si on trouve un intervalle ouvert I contenant L (un contre exemple), tel que aussi proche que nous nous plaçions de a on puisse toujours trouver un réel x dont l'image f(x)  sorte de I alors L ne peut être la limite.
A  méditer avant de lire la suite. ..

Bien, appliquons cela à la fonction  caractéristique des rationnels.
Soit a un réel.
Cette fonction ne prenant que les valeurs 0 ou 1, si la limite en a existe ce ne peut- être que 0 ou 1.
Est- ce 0 ? Je choisis l'intervalle ouvert  I = ] -0,5 ; 0,5[ . Il contient bien 0. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre rationnel (c'est la remarque préliminaire) et l'image de ce rationnel sera 1 et 1 n'appartient pas à  I.     0 ne peut pas être la limite.

Essayons 1 comme limite. Je choisis l'intervalle J = ]0,5 ; 1,5[ . Il contient bien 1. Aussi proche que je me place de a, je trouverai toujours un nombre irrationnel et l'image de cet irrationnel sera 0 et  0 n'appartient pas à J. Donc 1 ne peut pas non plus être la limite.
Voilà donc une fonction qui n'admet des limites nulle part...
Conséquence immédiate : elle est discontinue en tout nombre réel a (article à suivre...)

Autre curiosité de cette fonction : sauriez vous tracer sa représentation graphique ?


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12 janvier 2012 4 12 /01 /janvier /2012 23:32

Un petit retour sur la fonction caractéristique des rationnels. Intéressons nous cette fois à  la continuité en a.
Choisissons pour commencer a rationnel. On a donc f (a) = 1.
Maintenant tout intervalle ouvert contenant a (d'amplitude aussi petite soit-elle) contiendra des nombres irrationnels dont l'image sera 0.
On n'aura donc pas la limite en a égale à 1
f n'est donc pas continue en a.
Je vous laisse réfléchir tout seul à la continuité en a avec a irrationnel.
Ellle est à nouveau discontinue en a.
Bref ,elle est discontinue en tout réel ! Et oui, ça peut arriver !
Comme quoi la continuité est une propriété qui ne va pas de soi et qui méritera donc d'être étudiée et signalée quand nous étudierons une fonction.

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12 janvier 2012 4 12 /01 /janvier /2012 23:17

Pour achever le cours sur la continuité, voici une petite application fantaisiste du théorème des valeurs intermédiaires :

A l'instant où vous lirez ces lignes, il y a au moins deux points de l'équateur diamétralement opposés où il y a la même température.
Surprenant vous ne trouvez pas ? Vous devez vous demander quel lien il peut bien y avoir entre le théorème des valeurs intermédiaires et la température sur l'équateur...

Ce n'est pas si compliqué.

Déjà on peut se mettre d'accord sur le fait que si vous vous déplacez pas à pas sur la ligne de l'équateur la température évoluera de façon continue : peu de chance d'avoir un "saut " brutal de température.
Voilà déjà la continuité qui fait son apparition, c'est un bon début...

Considérons maintenant la fonction T qui à un point de l'équateur associe la différence de température entre ce point et le point qui lui est diamétralement opposé. Nous voilà avec une fonction qui sera continue d'après la remarque précédente.
Prenons un point A de l'équateur au hasard. De deux choses l'une :
Soit au point B diamétralement opposé à A, la température est la même qu'en A et dans ce cas notre point A est un point qui répond au problème posé.
Soit la température y est différente. Supposons-la inférieure par exemple. Dans ce cas T (A) a un signe strictement positif.
Plaçons nous en B : T(B) = - T(A) donc T(B) est négatif strictement.
Je pense que vous avez deviné la suite :
Appliquons notre théorème des valeurs intermédiaires : il y a obligatoirement quelque part entre A et B un point M de l'équateur où on aura T (M) = 0. Mais cela signifie que en M et au point qui lui est diamétralement opposé les températures sont identiques.
Maintenant si vous supposez la température en B supérieure à celle de A, le raisonnement s'adapte sans problème.


Voilà, c'est prouvé !

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12 janvier 2012 4 12 /01 /janvier /2012 17:13

Un randonneur part de la vallée à 7 h du matin. Il monte jusqu'au sommet d'une montagne, s'arrêtant quand il est fatigué et selon son rythme. Il arrive au sommet à midi. Il y passe l'après midi, y dort et repart le lendemain à 7 h, il suit exactement le même chemin qu'à l'alller pour rejoindre la vallée à 11 h.
Existe-t-il un endroit où le randonneur est passé exactement à la même heure que la veille ?

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25 novembre 2011 5 25 /11 /novembre /2011 17:35

Une année tropique est le temps écoulé entre deux équinoxes d'automne par exemple. C'est un temps que l'on a su évaluer correctement dès l'Antiquité. A l'époque de Jules César elle était estimée à 365,25 jours (365 jours 1/4 comme on le dit souvent). D'où la mise en place en 45 av JC par Jules César du calandrier dit Julien que vous connaissez tous :
3 années de 365 jours suivie d'une année dite bissextile à 366 jours. Si vous faîtes la moyenne sur 4 ans, vous avez bien (365 + 365 + 365 + 366) / 4 = 365,25.

Tout ça c'est très bien sauf que l'année tropique dure en vérité 365 jours 5 h 48 min 46 s. C'est donc un peu moins que 365,25 jours.
Pour y voir un peu plus clair convertissons tout cela dans notre bon système décimal :
1 jour = 24 heures = 24 * 60 minutes = 24 * 3600 secondes.
Donc 365 j 5h 48 min 46 s = 365 + 5/24 + 48 / (24*60) + 46 / (24*3600) = 365,2421991 que nous arrondirons à 365,2422 jours.

L'année du calendrier julien est donc trop longue de 365,25 - 365,2422 = 0,0078 jours.
En minutes ça nous fait : 0,0078 * 24 * 60 = 11,232 minutes.

Ce n'est pas beaucoup direz vous, mais si vous accumulez l'erreur sur quelques siècles vous verrez fatalement les dates des équinoxes avancer et donc les saisons se décaleront dans le temps ce qui n'est guère commode.
C'est le constat du pape Grégoire XIII en 1582.
Il constate qu'en 325 après JC , l'année du Concile de Nicée (premier concile de l'Eglise catholique, date importante pour lui) l'équinoxe de printemps avait eu lieu le 21 Mars.
Or en cette année 1587 elle a lieu 10 jours avant..
Vérifions le : 1582 - 325 = 1257 années écoulées et 1257 * 0,0078 = 9,80046 environ 10 jours.

Il décide donc que le lendemain du 4 Octobre 1582 sera le 15 Octobre 1582 !

Mais maintenant il doit trouver un système pour que dans les siècles à venir le décalage ne se reproduise plus.
Il faut diminuer le nombre de jours d'une année.
0,0078 est proche de 0,0075 = 3 / 400. Trouvons un système qui diminue de 3 le nombre de jours sur 400 ans.
Il suffit de supprimer trois années bissextiles : décidons que ne seront plus bissextiles les années séculaires non multiples de 400.
1600 sera bissextile, mais 1700, 1800, 1900 ne le seront pas, 2000 le sera ect...Sur 400 ans vous avez bien supprimé 3 années bissextiles.
Calculons alors une année avec ce nouveau système : on va faire une moyenne sur 400 ans.
100 - 3 = 97 années bissextiles et 303 années à 365 jours.
(303*365 + 97 * 366) / 400 = 365,2425
Avec ce système on colle bien mieux à l'année tropique, mais comme vous pouvez le constater notre année est encore trop longue de 365,2425 - 365,2422 = 0, 0003 jours (environ 26 secondes).
Laissons à nos descendants le soin de régler ce problème dans quelques millénaires...

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22 mars 2011 2 22 /03 /mars /2011 21:20

Je vous propose dans cet article de découvrir une loi qui règit tous les polyèdres classiques  de notre quotidien : cube, pavé, prisme, pyramide...Elle est élémentaire et pourtant il faudra attendre le XVIII siècle pour qu'elle soit découverte par Euler. Je vous invite à vérifier par vous même la validité de cette loi. La démonstration que j'en donne me semble intéressante car elle vous fera sortir des sentiers battus  du lycée.
Bonne lecture.
                                                                      Formule d'Euler


                                                                              suite

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22 mars 2011 2 22 /03 /mars /2011 21:17

Ce matin , j'ai introduit le cours de géométrie dans l'espace en classe de seconde par l'observation des polyèdres réguliers.

Je  vous propose   une démarche qui nous permette de les dénombrer et de voir à quoi ils peuvent bien ressembler.
Pour vous mettre
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gifen appétit ces petites images .
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Dodecahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif                                          Polyèdres1                                                             Polyèdres2

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9 février 2011 3 09 /02 /février /2011 23:31

On a retrouvé le trésor de la fiancée de Joe le pirate ! Un vieux coffre rempli de vingt pièces marquées 1F, 2F, 3F, ...jusqu'à 20 F. Les pièces sont tellement abîmées par le temps qu'elles semblent toutes du même métal. Pourtant un papier à peine lisible précise que la valeur des 10 pièces de vermeil excède de 110 F celle des neuf pièces d'argent.

 

Combien vaut la pièce d'or ?

 

 

                                             Jeux mathématiques du "Monde"

 

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26 janvier 2011 3 26 /01 /janvier /2011 23:40

En descendant le fleuve, une péniche a mis 2 heures pour parcourir 60 Km. Pour revenir au point de départ, elle met 3 heures.

Quelle est la vitesse du courant en Km/h ?

 

Et celui-ci qui lui ressemble :

Jeannot met 2 heures en kayak pour descendre la rivière et 3 heures pour faire le trajet retour en pagayant à la même allure.

Combien de temps aurait-il mis pour couvrir la même distance totale, toujours à la même allure, mais sur un lac ?

 

 

solution de l'énigme précédente :

Pierre est le plus rapide, je note V sa vitesse et v la vitesse de Paul.

Soit t le temps mis par Pierre pour faire le 100 mètres : t = 100/V

Comme il rets encore 10 mètres à faire à Paul, il fait le 100 m en t' = t + 10/v.

 

Maintenant intéressons-nous à la deuxième course :

Paul va encore faire le 100 m dans le même temps t' = t +10/v.

Pierre lui , va faire les 110 m en le temps t'' =  10/V + t

Pour savoir qui va gagner, on doit comparer t' et t''. Or v < V donc 10/v > 10/V et t + 10/v > t + 10/V soit t' > t''.

C'est donc encore Pierre qui gagne.

 

 

 

Et cette petite blague  :

 

 

Jésus, debout sur son rocher, parle à ses disciples :
« y = ax2 + bx + c. »
Un des apôtres prend alors la parole :
« Écoute, Jésus, déjà d’habitude on ne comprend pas grand-chose à ce que
tu nous dis, mais là, franchement on est perdus. »
Jésus de rétorquer : « C’est normal, c’est une parabole... »

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19 janvier 2011 3 19 /01 /janvier /2011 21:35

pourcentagefaux

 

Dans Ouest France du Lundi 17 Janvier page 3, je lis, histogramme à l'appui, que le prix de la tonne de  blé est passé entre le 6/01/2010 et le 7/01/2011 de 123 € à 246 € soit une augmentation de 200%...

Pour le mais, il en va de même : passage de 130 € à 225 € soit une augmentation de 173 %.

Pour bien marquer les esprits, les pourcentages sont écrits en rouge !

Pour le riz, rien à dire : la tonne de riz est passée de 238 € à 219 € et a baissé de 7,9 %

 

Voilà un exemple de la difficulté d'appréhender un pourcentage quand son ordre de grandeur sort des valeurs usuelles.

Je vous rappelle qu'une variation de t % correspond à une multiplication par (1 + t/100) et qu'un doublement de la valeur correspond donc à une multiplication par 2 = 1 + 1 = 1 + 100/100 soit à une augmentation de 100%

 

Une augmentation de 100%, ce n'est déjà pas si mal, messieurs les journalistes , ce n'était pas utile d'en rajouter...

Quant à mes  élèves intéressés par le journalisme, vous voyez qu'il peut être utile de maîrtriser quelques bases de mathématiques pour ne pas raconter d'âneries.

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  • : Le blog de Alain ANDRE
  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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