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23 septembre 2010 4 23 /09 /septembre /2010 21:32

Nous venons d'établir des critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10. Ce sont les seuls exigibles d'un lycéen.

Je vais vous montrer qu'il n'est pas bien difficile d'établir d'autres critères.

J'aimerais par exemple savoir si un entier est divisible par 7.

Si c'est un nombre à deux chiffres, il nous suffira de connaître notre table de 7 ou de faire la division de tête...

Intéressons nous à un nombre à 3 chiffres.

Commençons par écrire : 100 = 7 * 14 + 2. On en déduit que 100 est congru à 2 modulo 7.

Maintenant si le nombre s'écrit cdu en base 10, il vaut c* 100 + du et il est donc congru à 2*c + du   modulo 7.

Concrètement :

on sépare le chiffre des centaines des deux autres, on calcule 2*c + du : si c'est un multiple de 7 alors cdu aussi est multiple de 7, sinon cdu n'est pas multiple de 7.

Voici deux exemples :    525 est-il multiple de 7 ?   Je calcule 2*5 + 25 = 35 qui est multiple de 7 donc 525 aussi.

743 est-il multiple de 7 ?   Je calcule 2 *7 + 43 = 57 qui n'est pas multiple de 7 donc 743 non plus. Remarquez qu'en prime je connais le reste de la division par 7 qui est 1, puisque 57 = 7 * 8 + 1.

Bon, et pour un nombre à 4 chiffres ? Je vais bien entendu effectuer la division de 1000 par 7.

1000 = 142 * 7 + 6.

1000 est congru à 6   modulo 7, donc aussi congru à -1. J'aime bien les congruences à -1 !

Considérons l'entier mcdu. Il vaut m * 1000 + cdu et il est donc congru à -1 * m + cdu ou cdu - m.

Et voilà mon critére qui tombe tout seul : j'isole le chiffre des milliers. Je le retranche au nombre cdu.

J'obtiens un nombre à 3 chiffres auquel j'applique le critère précédent pour les nombres à 3 chiffres.

Encore deux exemples :

3257 est-il multiple de 7 ?     Je calcule 257 - 3 = 254 puis 2 * 2 + 54 = 58. Non 7 ne divise pas 3257.

2324 est-il multiple de 7 ?     Je calcule 324 - 2 = 322 puis 2 * 3+ 22 = 28 = 7 * 4.   7 divise 2324.

 

Il est facile d'adapter la méthode pour un nombre à 5 chiffres ...

 

Remarquez encore que le critère est lié au choix de la base d'écriture des nombres.

Que pensez-vous du critère de divisibilité par 7 d'un entier écrit en base 8 ?

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Published by ANDRE - dans approfondir
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