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29 septembre 2010 3 29 /09 /septembre /2010 22:23

Jean possède entre 2000 et 6000 cubes de même taille. Il peint chacun soit en bleu, soit en vert, soit en rouge.

En les empilant tous, il forme un grand cube. Sur la surface supérieure de ce cube, il compte deux fois plus de carrés bleus que de carrés verts et autant de carrés rouges que de bleus et verts réunis.

 

Combien Jean a-t-il de cubes en tout ?

 

                                                                                                                Rallye mathématique d'Auvergne

 

 

solution de l'énigme précédente

 

Soit N le résultat cherché et  a et b les deux nombres donnés  par le professeur, a étant le plus grand des deux.

On a : N = a * b - 60 = a/b + 60 soit a*b - a/b = 120   (1)

On travaille sur des nombres entiers. Une telle égalité ne peut avoir lieu que si a/b est entier donc que si b divise a.

Appelons q le quotient de a par b. On a q = a/b ou encore a = b * q.

Reportons dans (1) : il vient    b * q * b - q = 120 ou encore après factorisation de q :     q (b² - 1) = 120        (2)

On déduit de (2) que q est un diviseur de 120.

Nous allons les tester un par un.

si q = 1 alors b² - 1 = 120 et b² = 121 donc b = 11 puis a = b * q = 11 * 1 = 11 et enfin N = a * b - 60 = 11* 11 -60 = 61

si q = 2 alors b² - 1 = 60 et b² = 61 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers.

si q = 3 alors b² - 1 =40 et b² = 41 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 4 alors b² - 1 = 30 et b² = 31 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 5 alors b² - 1 = 24 et b² = 25  donc b = 5 puis a = 25 et N = 65

si q = 6 alors b² - 1 = 20 et b² = 21 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 8 alors b² - 1 = 15 et b² = 16 donc b = 4 puis a = 32 et N = 68

si q = 10 alors b² - 1 = 12 et b² = 13 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 12 alors b² - 1 = 10 et b² = 11 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 15 alors b² - 1 = 8 et b² =9  donc b = 3 puis a = 45 et N = 75

si q = 20 alors b² - 1 = 6 et b² =7 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 24 alors b² - 1 = 5 et b² = 6 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 30 alors b² - 1 = 4 et b² = 5 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 40 alors b² - 1 = 3 et b² = 4  donc b = 2 puis a = 80 et N = 100

si q = 60alors b² - 1 = 2 et b² = 3 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

si q = 120 alors b² - 1 = 1 et b² = 2 ce qui est impossible dans l'ensemble des nombres entiers

 

En conclusion, les résultats possibles étaient : 61 ; 65 ; 68 ; 75 ; 100.

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commentaires

Céline 02/10/2010 18:28



Enfait, je pensais que Jean avait compté tout les cubes visibles mais je me suis trompée qd même. Ce serait plutôt 2n²+3n(n-2). Mais si il compte juste les cubes du dessus, c'est effectivement n²
tout court.



Céline 02/10/2010 12:27



Oui, c'est a peu pres la meme methode sauf que toi c'est mieux expliqué et plus simple ^^ =)



Marie 01/10/2010 20:53



Je trouve le même résultat que toi céline :) avec une autre méthode :


Soit N, le nombre total de cubes. a l'arrête du cube constitué par tous les cubes et n(v) le nombre de cubes verts sur la surface supérieure du gros cube. N, a et n(v) sont tous des entiers
naturels.


D'après l'énoncé, on a :


- 2000 < N < 6000


- N = a^3


- a² = n(v) + 2n(v) + 3n(v) = 6n(v)


Les seules cubes entiers compris entre 2000 et 6000 sont 2197, 2744, 3375, 4096, 4913 et 5832.


Les valeurs de a correspondantes sont alors 13 ,14, 15, 16, 17 et 18. Or a² est divisible par 6. La seule valeur possible de a est donc 18. N vaut donc a^3=18^3= 5832.


Le nombre total de cube de Jean est de 5832.



ANDRE 02/10/2010 13:26



C'est effectivement la solution qui me semble la plus simple.



Céline 01/10/2010 19:08



Jean possède 5832 cubes.


explications: (avec "CUBE", l'assemblage de tout les cubes réunis, "cube" un petit cube de couleur, "b" un cube bleu, "r" un cube rouge et "v" un cube vert).


Racine cubique de 2000 et 6000 sont respectivement égales à environ 13 et 18. Donc Jean possède un CUBE avec entre 13 et 18 cubes par arrêtes.


De plus, on a des informations sur la surface SUPERIEURE du CUBE. On calcule donc le nombre de cubes sur la surface supérieure du CUBE : Soit n le nombre de cube par arrête (de 13 à 18). La
surface supérieure du CUBE comporte S=n²+n(n-2).


Grâce aux informations sur les couleurs nous avons:


r+b+v=nbr de cubes en surface, v=2b et r=b+v (3 inconnues donc 3 équations)


D'où r=(nbr de cube en surface (nbr(c))/2 , v=(nbr(c))/3 et b=(nbr(c))/6


S doit donc etre un multiple de 2,3 et 6. D'où S=936 avec n =18 et avec 468 cubes bleus, 312 cubes verts, et 156 cubes rouges.


Donc Jean possède au total n^3 cubes=5832



ANDRE 02/10/2010 13:24



Si tu as n cubes par arête, tu as S = n², il me semble ? Je ne vois pas d'où vient le n (n -2) ?


Tu montres que S est multiple de 6 et c'est bien. L'argument décisif est que parmi les nombres 13², 14², 15², 16², 17², 18², seul 18² est multiple de 6.


Cette intervention d'un critère arithmétique pour résoudre le problème me semble intéressant.


C'est bien d'y avoir pensé.


 



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