26 octobre 2008
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Sur la fiche d'exercices "raisonnement par récurrence", dans l'exercice 8, on supposera x positif.
Dans la démonstration, je vous invite à repérer où cette hypothèse intervient.
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23 octobre 2008
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Soit n un entier naturel supérieure ou égal à 2.
Je vais vous démontrer par récurrence que n points distincts d'un plan sont toujours alignés.
étape 1 : On fonde à n = 2 (pas d'intéret pour n = 0 ou n = 1).
Soit A1 et A2 deux points du plan distincts. On sait bien qu'il existe une droite contenant ces deux points.
étape 2 : on vérifie l'hérédité.
On suppose que n points distincts d'un plan sont toujours alignés. Montrons qu'alors n+1 points distincts sont encore alignés.
Désignons A1, A2, A3, ...,An , An+1 ces n+1 points.
Considérons : A1, A2, A3 , ...An : il y a n points et d'aprés l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés sur une droite que je nommerai (A2An) par exemple.
Considérons maintenant A2, A3, ..., An, An+1 : il y en a encore n et l'hypothèse de récurrence s'applique à nouveau et voilà ces n points alignés sur une droite que je peux encore appeler (A2An).
Mais alors les n+1 points sont bien sur la droite (A2An) et ils sont donc alignés !
Le principe de récurrence permet donc d'affirmer que n points d'un plan sont toujours alignés...
Il y a nécessairement un problème quelque part..
A vous de chercher.
22 octobre 2008
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Lors d'une soirée mondaine qui rassemble 26 invités, Aline s'ennuie à mourir : elle ne connaît guère qu'une personne. Le deuxième invité, Bruno, est à peine mieux loti : il n'a déjà rencontré que deux des présents. Caroline, un peu plus heureuse en connaît trois. Quatre des convives sont familiers à Dimitri. Eliane connaît cinq personnes, Fabrice six, et ainsi de suite, chaque invité connaissant une personne de plus que le précédent jusqu'à Yvonne, vingt-cinquième invité qui elle tutoie carrément tout le monde.
Mais combien de personnes connaît Zinédine, le vingt-sixième invité ?
(jeux mathématiques du Monde)
Solution de l'énigme précédente :
L'unité est le km/h
Pour parcourir les 5 Km, la voiture lente met un temps T = 5/v.
Pour parcourir les 5 Km, la voiture rapide met un temps t = 5/V.
On a T = t + 15/36000 = t + 1/240.
D'où la première équation : 5/v = 5/V + 1/240.
En 12/60 d'heure c'est à dire en 1/5 h, la voiture rapide parcourt D = 1/5 * V
et la voiture lente d = 1/5 * v.
Et on a donc : D = d + 1 soit la deuxième équation : 1/5 * V = 1/5 * v + 1.
Il est tentant de multiplier par 5. Il vient : V = v + 5.
D'où l'idée de substituer V par v + 5 dans la première équation :
5/v = 5/(v + 5) + 1/240.
On transforme un peu tout ça : 5/v - 5/(v+5) = 1/240
[5(v + 5) -5 v] /v (v + 5) = 1/240 soit 25/v (v + 5) = 1/240
Produit en croix : 25 * 240 = v (v + 5).
v est solution de l'équation du second degré : v² + 5 v - 6000 = 0.
La seule solution positive est v = 75
Le véhicule lent roule donc à 75 km/h
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Jeux mathématiques
19 octobre 2008
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Aujourd'hui je vous invite à aller faire un petit tour à la cuisine autour d'une batterie de casseroles. On peut dire qu'elles ont toutes à priori la même forme quelle que soit leur taille.
Munissez vous d'un double décimètre et mesurez le diamètre et la hauteur : on remarque que le diamètre est le double de la hauteur, autrement dit la hauteur de la casserole est égale à son rayon ( pratiquement ).
Essayons de comprendre pourquoi.
Imaginez vous un instant fabriquant de casseroles. Vous voulez construire une casserole de volume V fixé. Vous voulez bien entendu minimiser le coût de fabrication et donc minimiser la quantité de matière première nécessaire à sa fabrication.
Le problème mathématique qui se pose est le suivant : de tous les cylindres (sans couvercle...) de volume fixé quel est celui dont l'aire est minimale ?
Commençons par calculer la surface d'une casserole : un fond d'aire pi R² et le côté d'aire
2pi R h. (R est le rayon de la casserole et h sa hauteur).
Le volume étant fixé à V, R et h sont liés par : pi R² h = V. Il est assez tentant d'exprimer alors h en fonction de R par : h = V/(pi R²).
L'aire de la casserole est donc : A = pi R² + 2pi R h = pi R² + 2 pi R * (V/pi R²) = pi R² + 2V/R
Et nous avons exprimé l'aire de la casserole en fonction de son rayon R.
Nous allons tout naturellement considérer la fonction définie entre 0 et + infini par :
A(R) = pi R² + 2V/R.
Nous la dérivons : A'(R) = 2 pi R - 2 V/R².
Un extremum sera atteint quand A'(R) = 0 soit 2pi R = 2V/R² ou encore : V = pi R3
Pour être certain d'avoir un minimum, il faudrait regarder le signe de la dérivée, je vous en laisse le soin...
Reprenons l'écriture de h = V/(pi R²). Je vous laisse remplacer V par pi R3 : tout s'arrange pour le mieux et nous obtenons h = R !
Et voilà, il faut construire des casseroles de rayon égal à la hauteur pour minimiser la quantité de matière première nécessaire à leurs fabrications.
19 octobre 2008
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Voici un deuxième exemple d'utilisation de GEOGEBRA.
Vous trouverez la fiche élève jointe. Il s'agit de construire un triangle ABC isocèle en A de périmètre fixé égal à 15. La première question à se poser est d'envisager la déformation d'un triangle isocèle de périmètre fixé.
Imaginez le pratiquement aplati sur sa base BC : A tend vers le milieu de BC, et la longueur BC tend vers 7,5 AB et AC tendent vers 3,75.
Bon, maintenant imaginons le avec une toute petite base BC tendant vers 0. Alors on aura un triangle tout en hauteur avec AC et AB tendant vers 7,5.
Pour ces deux triangles extrêmes l'aire est nulle et on devine qu'il y aura entre ces deux positions extrêmes, une position intermédiare nous assurant une aire maximale.
Maintenant il faut construire.
Mon idée (mais il y a sans doute d'autres solutions...) est de fixer le point B par ses coordonnées B = (0,0) par exemple.
Ensuite je crée un curseur a où a désigne la longueur BC : je demande à a de varier entre 0 et 7,5 d'après les remarques initiales. Puis je crée le point C = (a ,0).
Voilà déjà le côté BC tracé et avec le curseur on peut faire bouger C entre ses deux positions extrêmes.
On s'occupe de A maitenant.
Un peu de géométrie de collège : il est sur la médiatrice de [BC] et sur le cercle de centre B et de rayon (15 - a)/2.
Allez voir les différentes icônes et repérez où tracer une médiatrice et un cercle de centre et de rayon fixé. En passant repérez tout ce que sait faire ce logiciel...
La médiatrice et le cercle sont tracés ?
Bien , il ne nous reste plus qu'à nommer A le point d'intersection de la médiatrice et du cercle (il y en a deux ...).
Maintenant on crée le polygone ABC et dans la colonne gauche on voit s'afficher l'aire du polygone ABC.
Maintenant avec le curseur on bouge C et on observe comment varie l'aire. Je pense qu'on devine assez facilement la forme remarquable du triangle quand son aire est maximale...
Il ne vous reste plus qu'à le démontrer...
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TICE
11 octobre 2008
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8 octobre 2008
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Deux voitures roulent à des vitesses constantes. Pour parcourir 5 kilomètres , la plus lente met 15 secondes de plus que la plus rapide. En 12 minutes, la plus rapide fait un kilomètre de plus que la plus lente.
Quelle est la vitesse de la voiture la plus lente en Km/h ? (coupe Euromath) solution de l'énigme de la semaine passée :
La question à se poser est : pourquoi le résultat de 2x + 3y pour l'un et de 3x + 2y pour l'autre ne suffit à deviner les deux nombres ?
Dans un tableau à deux entrées il est facile de calculer les valeurs prises par ces quantités quand x et y varient entre 1 et 7.
Si le nombre lu par le premier candidat est 11 par exemple, c'est que nécessairment x = 1 et y = 3.
Le premier candidat peut lire : 8, 11, 13, 14, 16, 18, 17, 19,21, 23, 20, 22, 24, 26, 28, 23, 25, 27, 29, 31, 33
Le deuxième candidat : 7, 9, 12, 11, 14, 17, 13, 16, 19, 22, 15, 18, 21, 24, 27, 17, 20, 23, 26, 29, 32.
Pour le premier candidat, seul le résultat 23 peut être obtenu de deux façons : pour le couple ((4 ; 5) ou le couple (1; 7).
C'est donc obligatoitement 23 qu'il lit sur le papier.
Autrement avec un miimum de logique, il aurait trouvé la bonne solution.
Pour le deuxième candidat, seul le résultat 17 peut être obtenu de deux façons : pour le couple ((3 ; 4) ou le couple
(1; 7).
C'est donc obligatoitement17qu'il lit sur le papier.
La seule solution possible est donc (1 ; 7).
Dans le même esprit, voici une énigme donnée l'an passé.
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Jeux mathématiques
8 octobre 2008
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Vous trouverez ici le texte de devoir surveillé de l'an passé sur les mêmes thèmes.
L'exercice 1 ne peut pas tomber : c'est une utilisation de la dérivée que je n'ai pas encore traîtée avec vous.
Les deux autres exercices feront un très bon entraînement.
Comme la dernière fois, je me contenterai de vous donner des pistes ce week-end. Toutes les questions seront les bienvenues.
Bonne préparation.
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6 octobre 2008
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12:00
Blaise de Vigenère (1523-1596) , diplomate français va concevoir un nouveau mode de codage permettant de coder une même lettre de différentes façons. L'étude statistique des lettres ne fournit plus alors un moyen de décodage. Voici comment il procède.
Nous voulons coder le message suivant :
Les mathématiques nous réservent bien des surprises.
Choisissons une clé : CODE (c'est un mot connu de vous et de votre interlocuteur seulement)
Ecrivons la clé sous le message autant de fois que nécessaire.
L E S M A T H E M A T I Q U E S N O U S R E S E R V E N T B I E N D E S S U R P R I S E S
C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C
La première lettre à coder est le L. En dessous nous lisons C qui est la lettre de rang 3 dans l'alphabet.
Le L sera codé par la lettre décalée de trois rangs donc par O.
Ensuite le E (rang 5)est au dessus du O (lettre de rang 15) . Le E est donc codé T.
S (rang 19) au dessus de D (rang 4) sera codé W
M (rang 13) au dessus de E (rang 5) sera codé R
Vous avez compris ? Cocorico !
Alors vous pouvez terminer le codage...
O T W R...
Maintenant votre interlocuteur reçoit son message codé. Réfléchissez à la façon dont il va le décoder . Je vous rappelle que lui aussi connait la clé CODE.
Un léger décalage entre les lettres apparait sur le blog et rend les correspondances plus difficiles à lire.
J'en suis désolé. Le mieux est de recopier sur une feuille.
5 octobre 2008
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17:50
Vous trouverez ici la fiche élève correspondant au TD de jeudi dernier. Peu d'indications sont données pour construire les figures. Il vous faut donc bien vous familiariser avec le logiciel.
Chaque semaine (je vais essayer ...) vous trouverez sur le blog une activité vous permettant de vous entraîner.
Cet entraînement personnel et les séances de travaux dirigés en classe vous permettront d'aborder l'épreuve de fin d'année sereinement. N'hésitez pas à poser des questions par l'intermédiaire des commentaires ou au lycée.
Activité 1
Cette semaine, je vous propose de tracer l'hyperbole d'équation
y = 1/x. On la nommera H.
On se donne un réel t. Placez le point M d'abscisse t sur la courbe H.
Tracez la droite D tangente à H en M.
La tangente coupe l'axe des abscisses en U et l'axe des ordonnées en V.
Lorsque t varie dans R*, que pensez vous de la position de M sur le segment [UV] ?
Démontrez le résultat que vous avez observé.
Bon, au niveau de la construction vous utiliserez les connaissances déjà vues en TD.
Autre activité possible : vous pouvez me rendre le graphique du DM pour demain ( et ceux des suivants) tracé avec GEOGEBRA. Attention cela ne vous dispense pas de savoir tracer une courbe à la main !
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