Un petit tour du côté des casseroles...

Aujourd'hui je vous invite à aller faire un petit tour à la cuisine autour d'une batterie de casseroles. On peut dire qu'elles ont toutes à priori la même forme quelle que soit leur taille.
Munissez vous d'un double décimètre et mesurez le diamètre et la hauteur : on remarque que le diamètre est le double de la hauteur, autrement dit la hauteur de la casserole est égale à son rayon ( pratiquement ).
Essayons de comprendre pourquoi.
Imaginez vous un instant fabriquant de casseroles. Vous voulez construire une casserole de volume V fixé. Vous voulez bien entendu minimiser le coût de fabrication et donc minimiser la quantité de matière première nécessaire à sa fabrication.
Le problème mathématique qui se pose est le suivant : de tous les cylindres (sans couvercle...) de volume fixé quel est celui dont l'aire est minimale ?
Commençons par calculer la surface d'une casserole : un fond d'aire  pi R² et le côté d'aire
 2pi R h. (R est le rayon de la casserole et h sa hauteur).
Le volume étant fixé à V, R et h sont liés par : pi R² h = V. Il est assez tentant d'exprimer alors h en fonction de R par : h = V/(pi R²).
L'aire de la casserole est donc : A = pi R² + 2pi R h = pi R² + 2 pi R * (V/pi R²) = pi R² + 2V/R
Et nous avons exprimé l'aire de la casserole en fonction de son rayon R.
Nous allons tout naturellement considérer la fonction définie entre 0 et + infini par :
          A(R) = pi R² + 2V/R.
Nous la dérivons : A'(R) = 2 pi R - 2 V/R².
Un extremum sera atteint quand A'(R) = 0 soit 2pi R = 2V/R² ou encore : V = pi R³
Pour être certain d'avoir un minimum, il faudrait regarder le signe de la dérivée, je vous en laisse le soin...
Reprenons l'écriture de h = V/(pi R²).  Je vous laisse remplacer V par pi R³ : tout s'arrange pour le mieux et nous obtenons h = R !
Et voilà, il faut construire des casseroles de rayon égal à la hauteur pour minimiser la quantité de matière première nécessaire à leurs fabrications.