25 octobre 2009
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Rappel du texte
J'utilise sqrt pour racine carrée et abs pour valeur absolue.
Pas évident comme exercice !
h est définie sur ]- pi ; 0[ par h (x) = g (cos x). C'est donc la fonction composée de cosinus et de g. D'après le cours , h est dérivable en a dés que cosinus est dérivable en a (toujours vrai) et que g dérivable en cos a.
Or g' n'est pas définie en 1 ou -1 mais sur ]-pi ; 0[, justement le cosinus ne prend pas les valeurs 1 ou -1. Voilà déjà la fonction h défivable sur ]-pi ; 0[.
Maintenant on applique la formule de dérivation des fonctions composées :
h'(x) = g'(cos x) * cos'x = 1/sqrt(1 - cos² x) * (- sin x) .
On se souvient que cos² x + sin² x = 1 d'où 1 - cos² x = sin² x. Et là, on vous attend au tournant !
sqrt (sin² x) = abs (sin x). Or ici x dans ]-pi ; 0[ donc sin x < 0 et abs(sin x) = - sin x.
On a donc bien : h' (x) = 1/(- sin x) * (-sin x )= 1.
J'utilise sqrt pour racine carrée et abs pour valeur absolue.
Pas évident comme exercice !
h est définie sur ]- pi ; 0[ par h (x) = g (cos x). C'est donc la fonction composée de cosinus et de g. D'après le cours , h est dérivable en a dés que cosinus est dérivable en a (toujours vrai) et que g dérivable en cos a.
Or g' n'est pas définie en 1 ou -1 mais sur ]-pi ; 0[, justement le cosinus ne prend pas les valeurs 1 ou -1. Voilà déjà la fonction h défivable sur ]-pi ; 0[.
Maintenant on applique la formule de dérivation des fonctions composées :
h'(x) = g'(cos x) * cos'x = 1/sqrt(1 - cos² x) * (- sin x) .
On se souvient que cos² x + sin² x = 1 d'où 1 - cos² x = sin² x. Et là, on vous attend au tournant !
sqrt (sin² x) = abs (sin x). Or ici x dans ]-pi ; 0[ donc sin x < 0 et abs(sin x) = - sin x.
On a donc bien : h' (x) = 1/(- sin x) * (-sin x )= 1.
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