TS2 : compléments au cours de vendredi.

Pour tracer la courbe représentative de la fonction logarithme népèrien, nous avons utilisé la symétrie dans un repère orthonormal des points M(x;y) et N (y;x) par rapport à la droite d'équation y = x (première bissectrice du repère).
Vous m'avez cru sur parole, et je vous remercie de cette marque de confiance, mais un peu d'interrogation , voire de scepticisme de votre part ne m'aurait pas déplu non plus...
Je vais donc vous justifier ce résultat de façon très simple en ramenant le problème dans le plan complexe.
Prenons un point M(a;b) et un point N(b;a) : on a échangé abscisse et ordonnée.
Nous devons montrer que la droite (D) d'équation y = x est la médiatrice de [MN].
Prenons un point P quelconque sur cette droite (D), d'abscisse x. Son ordonnée est encore x.
Le problème peut se ramener à démontrer que P est équidistant de M et de N.
L'affixe de M est a + b i.
L'affixe de N est b + a i.
L'affixe de P est x + x i.
PM = module de (a + b i - x - x i) = module de (a-x) + (b - x) i = racine carrée de (a - x)² + (b - x)²
PN = module de (b+ai-x-xi) = module de (b-x) + (a-x) i = racine carrée de (b - x)² + (a-x)².

L'égalité saute aux yeux. Comme elle est vraie quel que soit x donc quel que soit le point P sur la droite (D), on a bien (D) médiatrice de [MN].

Je voudrais maintenant vous montrer que notre façon d'introduire la fonction logarithme peut se généraliser.
Dans le fichier joint, je vais vous définir la fonction Arcsinus. L'an prochain cette fonction sera étudiée en détail.
Les résultats que vous lirez ici ne sont pas à connaître bien entendu. Il serait bon cette année de comprendre comment à partir d'une fonction "bijective", on peut définir ce qu'en math on appelle la bijection réciproque.
Les spécialistes maths ont l'occasion de travailler sur ces notions en géométrie, mais vous non.
J'invite particulièrement à la lecture de cet article  les élèves désireux de suivre une classe préparatoire l'an prochain.
A propos de la notion de bijection, j'avais fait l'an passé un travail sur cette notion.
Vous pouvez  y accéder dans la catégorie Histoire des maths (choix discutable...).
Si vous vous lancez la dedans, prenez  votre  temps, ne lisez pas tout d'un coup, ça pourrait devenir indigeste...