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11 novembre 2009 3 11 /11 /novembre /2009 22:28
Un problème de calendrier.

Cette semaine nous avons droit à un Vendredi 13 Novembre. J'espère que vous n'êtes pas supersticieux car dans ce cas 2009 aura été une dure année pour vous :
                              Vendredi 13 Février
                              Vendredi 13 Mars
                              Vendredi 13 Novembre
 3 Vendredi 13, dans une même année !

On peut  en avoir plus ?
Quelle sera la prochaine année avec 3 Vendredi 13  ?



solution de l'énigme précédente :
Je serai bien inspiré avant de poser une énigme de penser à la rédaction de la solution...
Bon, on va prendre sqrt comme symbole de la racine carrée.
On veut définir : sqrt(-1/4+sqrt(-1/4+sqrt(-1/4+...))).
On devine que ce sera une limite (à cause des ...), oui mais limite de quoi ?
Limite d'une suite récurrente de premier terme u0 telle que un+1 = sqrt(-1/4 + u
n).
Il suffit de choisir son terme u0 > -1/4.   (u0 = 1 par exemple)
On écrit u1, u2, u3, u4  sans faire aucun calcul intermédiaire, on voit apparaître l'écriture que l'on voulait .
Cette suite converge t-elle ? Là, les TS2 vous êtes dans le vif du sujet !  Aller, on va l'admettre, mais nous avons vu de nombreux exemples du même style. On sait qu'alors la limite est une solution de l'équation sqrt(-1/4+x) = x.
Elevons au carré : -1/4+x = x² ou x² - x + 1/4 = 0. C'est parti pour le discriminant, ou alors, plus joli on reconnait (x - 1/2)² =0.
Bref, la limite est donc 1/2.

Pour la deuxième expression : même raisonnement , cette fois on est amené à résoudre
l'équation  : sqrt (-3/16 + x) = x. On élève au carré : -3/16 + x = x² et on tombe sur l'équarion de degré 2 : x² - x + 3/16 = 0 ou encore pour les allergiques aux fractions : 16x² - 16x + 3 =0.
Le discriminant vaut  64 et il y a deux solutions 3/4 et 1/4.
Ici encore on peut représenter la fonction f(x) = sqrt(-3/16+x) et la droite (D) (y = x), on représente les premiers éléments de la suite pour se convaincre que la valeur limite est 3/4.
L'expression a donc un sens et vaut 3/4.


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  • : Le blog de Alain ANDRE
  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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