Enigme de la semaine 5

Quel est le plus grand nombre de points que l'on peut placer dans un disque de rayon 100 m, de telle sorte que deux d'entre eux soient éloignés d'au moins 100 m ?

Même question en exigeant, cette fois, que d'eux d'entre eux soient éloignés de plus de 100 m.

                            Jeux mathématiques du "Monde"

remarque : par disque, nous entendrons disque fermé.

solution de l'énigme précédente
On essaie les divisions de 9, 99, 999, .....Il faut arriver à 999 999 pour que la division ait un reste nul.
On a : 999 999 = 7 * 142 857.
Maintenant que se passe-t-il si nous rajoutons un 9 ? C'est parti pour un peu d'arithmétique !
On a 9 999 999 = 999 999 * 10 + 9 = 7 * 142 857 *10 + 9 = 7 * 1 428 570 + 9 et l'on comprend bien que le reste de 9 999 999 par 7 sera le même que celui de 9 par 7, c'est à dire 2
 (9 999 999 = 7 * 1 428 571 + 2)
Et avec encore un 9 de plus, nous aurons encore le même reste que pour 99 et ainsi de suite.
Il faudra arriver à 999 999 999 999 pour récupérer un nouveau multiple de 7.
Vous aurez compris que de tels nombres sont multiples de 7 si et seulement si le nombre de chiffre 9 est un multiple de 6.
Or 1997 ne l'est pas mais 1998 est multiple de 6.
On peut expliquer tout cela plus élégamment en utilisant les congruences, patience !