Enigme de la semaine 10

Dans cette petite ville de 2000 familles, on a dénombré 5495 vélos.
Il y a 3 catégories de familles : des familles à 2 vélos, des familles à 3 vélos et des familles à 4 vélos.
Curieusement deux de ces catégories comptent le même nombre de familles.

Combien de familles possèdent 3 vélos ?

(Jeux mathématiques du Monde)

solution de l'énigme précédente :
Un zéro vient d'un facteur 10 dans  la décomposition de N = 50 * 51 * 52 *... * 100.
Il y aura autant de facteurs 10 que de facteurs 5.
Nous allons donc dénombrer les facteurs 5 dans N.
Premièrement on compte les multiples de 5 :
50; 55; 60 ; ...;100 : cela nous en fait 11.
Deuxièmement on compte les multiples de 25 : cela nous en fait 3 de plus (50; 75; 100)
Il est clair que chacun de ces 14 facteurs 5 peut être accompagné par un facteur 2 (il y en a bien plus...).
Finalement N se terminera par 14 zéros.

Comments

[Guillaume]

Soit x les familles avec deux vélos, y les familles avec 3 vélos et z les familles avec 4 vélos

2000 = x + y + z
5495 = 2x + 3y + 4z

Si x=y : 2000= 2x + z soit z = 2000 - 2x
d'où 5495 = 2x + 3x + 4(2000-2x)
5495 = -3x + 8000
2505=3x
x=835
donc y=835 et z = 2000 - 2*835 = 330


Si x=z : 2000= 2x + y d'ou y = 2000 - 2x
d'où 5495 = 2x + 3(2000-2x) + 4x
or 2x + 6000- 6x + 4x = 6000 donc différent de 5495
C'est impossible que x=z

Si y=z : 2000 = x + 2z d'ou x= 2000- 2z
d'où 5495 = 2(2000-2z) + 3z + 4z
5495 = 4000 + 3z
1495 = 3z
z = 498.333...
donc y = 498.333... et x = 2000- 2*498.333 = 1003.333...
Comme x y et z ne sont pas entiers, impossible que ce soit la réponse.

on a donc :
x = 835
y = 835
z = 330

==> 835 familles possèdent 3 vélos