Prolongement par continuité. (TS2)

Dans le devoir surveillé, une fonction est intervenue qui mérite qu'on l' observe de plus près.
Dans l'exercice 1 : f qui à x associe (x²+3x-4)/(x²-1)
                             
La fonction f  n'est pas définie en 1 et pourtant elle admet une limite finie 5/2 en ce point. Il est tentant de poser f (1) = 5/2. On dit que l'on a prolongé la fonction f par continuité en 1.
En effet on a clairement la limite de f en 1 égale à 5/2 qui est maintenant f(1). C'est la définition que nous avons donné de la continuité en un point.

La fonction de l'exercice 2 Q4  était justement le prolongement par continuité en 0 de la fonction qui à x associe x sin (1/x) .
Avec le théorème des gendarmes, on montrait que la limite de f en 0 était 0. Or justement on nous donnait f(0) = 0.
On récupère ainsi des fonctions mieux construites, plus régulières : continues.

Chaque fois qu'une fonction f est  définie sur I \ { a} mais admet en a une limite finie L on pourra la remplacer par une fonction F égale à f sur I \ {a} et prenant en a la valeur L.
Cette fonction F est le prolongement par continuité de f en a.

Dans le dernier TD portant sur les limites des taux de variations, nous avons encore d'autres exemples.