Munissez vous d'un catalogue publicitaire comme ceux qui traînent dans nos boites à lettres à longueur d'année. Bien, en voilà un au moins qui aura son utilité : il va vous faire découvrir que les premiers chiffres significatifs des nombres qui nous entourent dans la vie courante ne se répartissent pas de manière équiprobable. Bien au contraire , la répartition suit une loi de probabilité connue sous le nom de loi de Benford. Je vais me faire un plaisir de vous expliquer tout ça. Chiffre significatif ? Il faut imaginer le nombre écrit sous sa forme scientifique : le premier chiffre significatif est celui devant la virgule. Pour 14,20 c'est 1; pour 254,85 c'est 2; pour 0,45 c'est 4. Le premier chiffre significatif peut donc prendre les valeurs : 1,2,3,4,5,6,7,8 et 9.
Bon prenons notre catalogue, étudions la fréquence d'apparition du premier chiffre significatif des prix qui s'y trouvent. Vous vous attendez à une répartition à peu près équilibré ? Vous allez être surpris. On voit très vite la prédominance du 1 appararaître, suivie par celle du 2, puis par celle du3, du 4, du 5, du 6, du 7, du 8 et le 9 pour finir. C'est fou, non ?
107 41 30 29 29 19 12 12 13 L'anomalie sur le 9 est tout à fait explicable : c'est la fluctuation d'échantillonage que vous avez découverte en seconde . Avec un catalogue, plus épais il aurait sans doute été possible de faire mieux... L'idée m'est alors venue d'utiliser un tableur pour étudier les premiers chiffres des termes de suites mathématiques bien connues. Celle des carrés parfaits pour commencer. Pour les carrés de 1 à 3732 (choisi au hasard) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1045 735 581 493 250 178 161 152 137
Pour les inverses d'entiers entre 1 et 3732 1 2 3 4 5 6 7 8 9 882 687 692 515 291 205 173 154 133
Petite anomalie au niveau du 2 et du 3.
Pour la suite des factorielles d'entiers de 1 à 170. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 54 29 22 12 12 10 6 14 11
Enfin la suite de Fibonacci : u0 = 1 u1 = 2 un+2 = un+1 + un. (de 1 à 1000) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 283 167 117 91 74 64 54 50 42
Pour cette dernière la décroissance est manifeste !
C'est à partir de travaux de ce genre (20 000 observations !) que Franck Benford , physicien Américain émet l'hypothèse que la probabilité que le premier chiffre significatif soit n est égale à : log10(1 + 1/n). Vous remarquerez la démarche expérimentale qui n'est pas trop fréquente en mathématiques, mais Benford est un physicien... Voilà une belle occasion d'illustrer ce que nous venons de voir cette semaine. Appelons X la variable aléatoire égale au premier chiffre significatif. La loi de probabilité de Benford donne donc : P(X = n) = log (1 + 1/n). (il s'agit du logarithme décimal). Commençons par vérifier que nous avons bien défini une loi de probabilité. pour n entier compris entre 1 et 9, 1 + 1/n est compris entre 1 et 10 donc son logarithme décimal est bien entre 0 et 1. On peut écrire log (1 + 1/n) = log [(n+1)/n] = log (n+1) - log n Sommons les 9 probabilités et vérifions que la somme est 1. log2 - log1 + log3 - log2 + log4 - log3 +... + log 9 - log 8 + log 10 - log 9 = log 10 - log 1 = 1 Dresssons maintenant un tableau de ces 9 probabilités.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,301
0,176
0,125
0,097
0,079
0,067
0,058
0,051
0,046
Ce sont bien entendu des valeurs théoriques, mais si vous les comparez avec les fréquences des séries observées au dessus, le rapprochement est parfois saisissant (suite de Fibonacci par exemple). Cette loi a trouvé une application dans la lutte contre la fraude fiscale : un comptable peu scrupuleux, qui falsifie un livre de compte oublie (ou ignore...) le respect de la loi de Benford. Une analyse statistique des premiers chiffres significatifs fera apparaître une anomalie et donc une fraude probable. Joli, vous ne trouvez pas ? Maintenant il faut aussi être conscient que certaines séries échappent totalement à la loi de Benford. Si je relève le poids des 600 élèves du lycée, peu de chance de voir apparaître une prédominance du 1...
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