Bijection : introduction, mise en place du dénombrement.

Une notion première en mathématique : la notion de bijection

La notion de bijection a pratiquement disparu du programme de mathématiques des lycées.

Il en subsiste juste quelques traces en spécialité.

C'est assez curieux car cette notion est fondamentale. Elle est à la base du concept de nombre et sans doute la première notion mathématique développée par les hommes. C'est elle aussi qui nous permet de définir rigoureusement les notions d'ensemble fini et infini.

Je me propose de vous faire découvrir dans quelques articles cette notion qui vous réservera bien des surprises !

La mise en place du dénombrement

Remontons quelques trente millénaires et mettons nous à la place de nos ancêtres. Le langage est encore rudimentaire et les nombres n'existent pas dans notre vocabulaire.

Cependant nous vivons en tribu et le besoin de se compter, de compter les objets qui nous entourent (armes, nourritures) se fait obligatoirement sentir. Nous observons que les beaux jours et les temps froids se renouvellent régulièrement. Le besoin de compter les jours apparaît.

J'estime que le premier mathématicien  est celui qui aura eu l'idée de faire correspondre à une collection d'objets à dénombrer, des entailles sur un os, ou sur un morceau de bois, ou encore aura eu l'idée d'utiliser les doigts de ses mains. On trouve dans de nombreux sites préhistoriques des os portant gravées des encoches : à chaque objet à compter son encoche, à chaque encoche son objet.

Remontons le temps jusqu'à la Rome antique. Les nombres ont maintenant un nom, mais leur connaissance est le privilège d'une petite minorité, dirigeants, savants.

Vous êtes berger avec quelques moutons à surveiller et bien entendu vous ne savez pas compter.

Comment savoir si vous avez bien le même nombre de moutons le matin et le soir ?

Vous vous munissez d'un sac dans lequel vous glissez le matin un petit caillou à chaque mouton qui passe devant vous : à chaque mouton son caillou, à chaque caillou son mouton.

Le soir, démarche inverse : à chaque mouton qui repasse devant vous, vous enlevez un caillou du sac. Si après le dernier mouton il reste un ou des cailloux dans le sac, un ours ou un voleur est passé par là !

Cette technique de dénombrement a laissé des traces dans notre vocabulaire : sachez que « calculus » en latin signifie « petit caillou ». Nous y trouvons la racine de notre mot calcul, et en médecine, dans l'expression « calculs rénaux » vous retouvez le sens premier de ce mot.