Une fonction encore surprenante (TS)

Nous allons regarder d'un peu plus près la fonction définie de la façon suivante. :
Si x  est non nul, f (x) = sin (1/x) et on posera f (0) = 0.

Utilisez votre calculatrice pour faire apparaître la représentation graphique sur [0,2 ; 10].
remarque : vérifiez que vous êtes bien en radian
                      prendre les Y entre -1 et 1(normal pour un sinus...)
Rien d'extraordinaire pour l'instant. On devine que l'axe des abscisses est asymptote au voisinage de +infini.
Normal : on pose X = 1/x et je vous laisse vous entraîner à montrer que la limite en + infini de f (x) est 0.
Vous avez réussi ? Parfait , on continue.

Maintenant changeons la fenêtre graphique et prenons x dans [0,1 ; 1]. Prenons 0,1 en échelle pour les x.
        ça commence à osciller un peu plus.
Prenons x dans [0,05 ; 1] : là, ça oscille sèrieusement...
Aller, prenons x dans [0,01 ; 0,5}    ça devient un peu brouillon...
Et dans [0,001 ; 0,5],         là on n'y voit plus rien !

Pourquoi nous nous contenterions des x positifs ?
Prenons x dans [-0,5 ; 0,5]
Et dans [-0,1 ; 0,1] ?
Et dans [-0,01 ; 0,01] ?

Bref autour de 0 vous aurez compris qu'il se passe des choses curieuses.
Essayons de comprendre :
Si x tend vers 0 en restant positif alors 1/x tend vers + infini. Cela explique que le sinus oscille continuellement entre -1 et 1. Nous avons la même chose en considérant les x négatifs.
Dit autrement :sur  tout intervalle contenant 0, aussi petit soit-il, la fonction atteindra toute les valeurs comprises entre -1 et 1 sans se rapprocher d'une valeur particulière. Elle n'a donc pas de limite en 0 et elle n'est donc pas continue en 0.
Nous avons donc ici une discontinuité d'un type différent du type "saut"  vu en classe.


  tracé sur [-1 ; 1]