Enigme de la semaine 3

Existe-t-il des multiples de 7 dont l'écriture décimale est formée exclusivement de chiffres "9" ?
En particulier, le nombre formé de 1997 fois le chiffre "9" est-il divisible par  7  ? Et 1998 fois le chiffre "9" ?

Jeux mathématiques du "Monde"

solution de l'énigme précédente :
Choisissons comme unité de longueur, la longueur d'un saut de lapin et comme unité de temps le temps nécessaire à un lapin pour faire 13 sauts ou à un kangourou pour faire 9 sauts.
Un saut de kangourou a donc pour longueur 8/3.
Exprimons alors les vitesses respectives de nos deux animaux :
Pour le lapin : V_L = 13
Pour le kangourou : V_K = 9 * 8/3 = 24.
Désignons par t le temps nécessaire au kangourou pour rattraper le lapin.
t est solution de l'équation : 24 t  = 77 + 13 t.
On en déduit que 11 t = 77 puis t = 7.

En une unité de temps le kangourou faisait 9 sauts donc en 7 unités il aura fait 7 * 9 = 63 sauts

conclusion : le kangourou rejoint le lapin en 63 sauts.