Enigme de la semaine 10

Encore un petit exercice de proba qui a un lien avec ce que nous venons d'étudier.

Dans une île déserte, un pirate enterre à quelques mètres de distance les deux sacs d'un trésor :
Le sac en jute contient 20 pièces d'or et 30 pièces d'argent.

Le sac en cuir contient 20 pièces d'or et 20 pièces d'argent.

Malheureusement pour lui, il finit sa vie au bagne sans avoir pu récupérer son magot.
De nombreuses années plus tard, un aventurier débarque sur cette île et creuse le sol au hasard. La fortune lui sourit, puisqu'il trouve un des deux sacs. Il y plonge la main et en sort une pièce d'or.

Quelle est la probabilité qu'il s'agisse du sac en cuir ?

                                                                                         Jeux mathématiques du Monde

Solution de la semaine précédente :

Imaginons que la tortue et le lièvre lancent chacun 2 pièces.
3 cas sont possibles.
cas 1 : le lièvre a obtenu plus de Face que la tortue. Je note E₁ cet événement.
cas 2 : la tortue a obtenu plus de Face que le lièvre. Je note E₂ cet événement.
cas 3 : le lièvre et la tortue ont obtenu le même nombre de Face.Je note E₃ cet événement.

On a clairement P(E₁) = P(E₂) = p et donc P(E₃) = 1 - P(E₁) - P(E₂) = 1 - 2p. Je n'essaie pas d'en savoir plus sur p, ce ne sera pas utile.
Bien, maintenant il reste une pièce à jeter en plus à la tortue.
Si E₁ a été réalisé, quoiqu'il arrive la tortue a perdu : au mieux même si elle fait Face avec cette dernière pièce,  elle obtiendra le même nombre de Face que le lièvre donc elle perdra.
Si E₂ est réalisé, alors quoiqu'il arrive la tortue a gagné.
Si E₃ est réalisé alors la tortue gagne seulement si elle fait Face avec cette dernière pièce.
Appelons T l'événement "la tortue gagne" et F "la tortue fait Face à la dernière pièce"
T = E₂ union (E₃ et F) d'où :
P(T) = P(E₂) + P(E3 et F). Or E₃ et F sont indépendants donc P(T) = P(E₂) + P(E₃) * P(F) = p + (1 - 2p) * 1/2 = 1/2.
Finalement le lièvre et la tortue ont la même probabilité de gagner.
Maintenant vous pouvez bien entendu changer le texte : dès que la tortue a une pièce de plus que le lièvre et tant que vous lui imposez pour gagner d'avoir strictement plus de Face la probabilité de gagner est de 1/2 pour les deux joueurs.