Enigme de la semaine 2 : la spirale des milieux

Les  points A₀ et A₁ sont fixés. Pour i supérieur ou égal à 2, A_i est le milieu de [A_i-1A_i+1].
Cette spirale a été réalisée avec des demis arcs de cercle de diamètre [A_iA_i+1].

Autour de quel point la spirale s'enroule-t-elle ?



D'après Jeux mathématiques du Monde


Solution de l'énigme de la semaine passée :
Le nombre qui s'écrit avec 999...999 , le 9 écrit 2009 fois est 10²⁰⁰⁹ - 1.
On le multiplie par 2009, on obtient : 2009 (10²⁰⁰⁹ - 1) = 2009 * 10²⁰⁰⁹ - 2009.
Posons la soustraction : 20090000000..........0000        (2009 zéros écrits)
                                             -                                2009

                                       =    200899...............9997991         (2005 neufs entre le 8  et le 7)

Or  :  2+0+0+8 + 7+9+9+1 = 36 = 4 * 9
On a donc pour somme des chiffres du résultat : 4 * 9 + 2005 * 9 = 2009 * 9 = 18 081.