Les formats standards.

Munissez vous d'une feuille de papier A4 . Mesurez la longueur L et la largeur l  et calculer le quotient L / l . Ce nombre est appelé format de la feuille.
Vous allez maintenant plier la feuille suivant la médiatrice des deux longueurs. Vous récupérez une nouvelle feuille dont la largeur est la moitié de la longueur précédente et dont la longueur est l'ancienne largeur. Effectuons le calcul du format de cette nouvelle feuille. Surprise  : il est inchangé.
Recommençons le processus : plions la feuille suivant le même axe de symétrie, calculons le nouveau format : il est encore inchangé.
Bref, vous pouvez recommencer, le format ne change jamais !
Ceci est bien entendu intéressant pour faire des réductions ou agrandissement d'un document : on conservera toujours les proportions.

Ces observations étant faites, nous allons maintenant voir à quelles conditions elles peuvent avoir lieu.
La première feuille a une longueur L, une largeur l et donc un format f = L / l
La deuxième feuille a une longueur L' = l, une largeur l ' = L / 2 et donc un format f ' = L' / l' = 2 l / L.
On veut : f = f ' ce qui nous conduit à : f = 2 * l / L = 2 * 1 / f.
On a donc f ² = 2 et f = racine carrée de 2. (environ 1,414 valeur très proche de celles observées dans la phase d'observations).

Mais maintenant ces longueurs et largeurs curieuses : 29,7 cm et 21,1 cm d'où sortent-elles ?
Décidons de fabriquer une feuille rectangulaire de format racine carrée de 2 et d'aires 1 m².
(pour la suite je noterai rc2 la racine carrée de 2).
On aura  L = l * rc2 et L * l = l * rc2 * l = 1 d'où : l ² * rc2 = 1.
On en tire que l ² = 1/rc2 et donc enfin l = rc (1/rc2) = 1/rc(rc2).
Valeur pas trop sympatique qui vaut environ 0,8409 m ou 84,09 cm.
La longueur sera rc(2) * l soit environ 1,1892 m ou 118,92 cm.
Vous avez là les dimensions d'une feuille dite de format standard A0.
Tous les autres formats s'en déduisent :
Format A0 : 118,92 cm sur 84,09 cm.
Format A1 : 84,09 cm sur 59,46 cm.
Format A2 : 59,46 cm sur 42,04 cm.
Format A3 : 42,04 cm sur 29,73 cm
Format A4 : 29,73 cm sur 21,02 cm.
Format A5 : 21,02 cm sur 14,86 cm.

Vous voyez donc que les dimensions de ces feuilles que nous utilisons tous les jours, ne sont pas le fruit du hasard mais d'une réflexion mathématique.