L'énigme de la semaine

On va rester dans le domaine des probabilités.
Deux joueurs A et B jouent au dé.
A commence : s'il fait 1 ou 2, il gagne.
Sinon, B joue : s'il fait 3,4 ou 5, B gagne.
Sinon A rejoue et gagne selon les mêmes conditions qu'au départ.
et on continue comme celà, jusqu'à ce qu'un des deux joueurs gagnent.

Calculer les probabilités de gagner pour chacun des deux joueurs.


La semaine passée : les solutions proposées m'ont convaincu sauf pour la dernière preuve. Vous étiez tout proche de la solution mais ,il manquait un  argument .
Comment donner un sens à la somme d'une infinité de termes ? Mieux que cela  :
la somme d'une infinité de termes a-t-elle toujours un sens ?
Il n'est pas question d'apporter ici une réponse définitive. Ce sera une étude que vous ferez dans l'enseignement supèrieur. Cependant, on peut déjà apporter un début de réponse quand on somme les termes d'une suite géométrique. C'est le cas ici.
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... est la somme des termes de la suite géométrique (-1)ⁿ.
Ecrivons S_n = 1 + q + q² + q³ + ...+ qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q).
Il est tentant de concevoir  la somme infinie S = 1 + q + q² + q³ + ...  comme la limite de S_n quand n tend vers + inf.  
Encore faut-il que cette limite existe ! C'est là que ça peut coincer...
Si -1 < q < 1, pas de souci : qⁿ⁺¹ tend vers 0 et S_n tend vers 1/1-q.
Dans tous les autres cas, S_n tend vers +inf ou n'a pas de limite et donc
S = 1 + q + q² + q³ + ... n'a pas de sens.
 En particulier 1 - 1 + 1 - 1 + ... n'a pas de sens car ici nous avions q = -1.
Le raisonnement est donc faux dès le départ.
Dans l'article sur la loi géométrique vous retrouvez ces notions.

 

Comments

[antoine ts3]

proposition :
p(A gagne) = 0.5
p(B gagne) = 0.5

[ANDRE]

Effectivement les deux joueurs ont les mêmes chances de gagner ce qui n'a rien d'évident à priori.

[Alia TS1]

Bonsoir monsieur ,(cela n'as rien avoir avec l'article): c'est pour prèvenir que demain je serais absente , et je voudrai rattraper mes cours , je vous demande donc s'il-vous-plez de me mèttre en ligne les cours (et explication si nècèssaire)et si je ne comprendrais pas je n'hèsiterais pas à vous le dire.Merci d'avance

[ANDRE]

Nous avons fait les exercices du livre page 393 394
n°47,48,49,50 en première heure.
En deuxième heure nous avons commencé le cours sur les densités de probabilité
livre de la classe page 384.
Je peux te consacrer du temps demain aprés 16h30 ainsi qu'aux deux autres élèves absents.
Mais ce soir je nai pas le temps de mettre le cours en ligne.

Les exercices 51 et 52 sont à faire pour demain.