Dans le dernier article 10 sur la bijection j'ai un peu simplifié les choses. Par souci de rigueur je me dois de rectifier une partie du raisonnement.
Associer à un point du carré, un point du segment ]0 ; 1[, par le procédé indiqué : rien à dire.
Mais la réciproque pose problème.
Considérons x = 0,010101010101.... (période 01). C'est un rationnel.
On va lui associer le point du carré A(0,000000...; 0,11111111...) qui a la mauvaise idée de ne pas être dans le carré ouvert mais sur un bord (axe des ordonnées).
Même chose pour x = 0,101010101010.... à qui on associe un point de l'axe des abscisses.
Et 0,9090909090909.....?
On lui associe B(0,99999999999999...;0,0000000000000000000...)
si a = 0,9999999999... alors 10a = 9,99999999999999...
10a - a = 9 9a = 9 et a = 1
B est donc le point (1 ; 0) et n'est donc pas dans le carré ouvert !
Bref ma petite phrase préférée : à chaque point m de ]0 ; 1[ , son point M du carré ]0;1[ * ]0;1[ est fausse...
Mais pas de panique Cantor a pensé à tout. Pour vous expliquer comment il lève la difficulté je vais être amené à vous parler de la notion d'injection.
Ce sera pour une autre fois...
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