Bijection(article 7): on fait le point

Faisons le point : tous les ensembles E infinis rencontrés jusqu'ici, sont équipotents à ℕ : pour chacun nous avons réussi à établir une bijection de E dans ℕ.

Le principe est toujours le même : tout se passe comme si l'on faisait défiler devant nous les éléments de E et on leur associe un entier n correspondant à l'ordre de passage. Finalement nous faisons la même chose que le berger et ses cailloux dont je vous parlais il y a quelques temps : bon, il y a juste une infinité d'éléments, ce sera un peu plus long...

On dit que ces ensembles infinis équipotents à ℕ sont dénombrables.

J'en ai oublié un qui est aussi très connu, c'est l'ensemble des entiers naturels premiers : il est infini et dénombrable.

La bijection toute naturelle est donnée en dessous :

2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43...

1   2  3  4   5      6  7     8   9  1 0  11  12  13  14...

Un ensemble infini dénombrable, peut donc être strictement contenu dans ℕ, et avoir un cardinal égal à celui de ℕ ou contenir ℕ et avoir encore un cardinal égal à celui de ℕ.

Et ℝ ? Pourra-t-on établir une bijection entre ℕ et ℝ ?

Ce sera l'objet du prochain article et vous ne serez pas déçus...