TS2 : préparation DS3 du 01/12/09

25.11.2009

Voici deux problèmes qui regroupent bien les techniques et les connaissances exigibles sur la fonction exponentielle. Le problème 2 est faisable dès ,maintenant. Pour le problème 1, les choses seront plus claires Lundi, bien que...

Problème 1
A. Soit g la fonction définie sur IR par : g (x) = 1 - e ^2x - 2 x e ^2x.
a. Déterminer les limites de g en + inf et en - inf.
b. Montrer que g '(x) a le signe de -1 - x.
c. Dresser le tableau de variation de g sur IR.
d. Calculer g (0). En déduire le signe de g (x).

B. Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = x + 3 - x e ^2x.
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal : unité 2 cm.
a. Déterminer les limites de f en - inf et en + inf.
b. Calculer f '(x).
c. En utilisant A., étudier le sens de variation de f.
d. Montrer que la droite D d'équation y = x + 3 est asymptote à C en - inf.
Etudier la position relative de C et D.
e. Montrer que sur [0; + inf [, la courbe C coupe l'axe des abscisses en un seul point I.
Déterminer, un encadrement d'amplitude 0,1 de l'abscisse de I.
Sans justifier, donner une valeur approchée à 10^-1 près de l'abscisse du point d'intersection J de C et de l'axe des abscisses sur ]-inf ; 0].
f. On note A le point de C d'abscisse -1. Ecrire une équation de la tangente T à C au point A.
Etudier la position relative de C et T.
g. Tracer la courbe C et les droites D et T.

Problème 2
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur IR par g (x) = e^x (1 - x) + 1.
1) Etudier le sens de variation de g.
2) Démontrer que l'équation g (x) = 0, admet une unique solution dans l'intervalle
[1,27 ; 1;28]; on notera alpha cette solution.
3) Déterminer le signe de g (x) sur ]- inf ; 0].
Justifier que g (x) > 0 sur [0 ; alpha [ et que g (x) <0 sur ] alpha ; + inf[.

Partie B : Etude de la fonction f définie sur IR par :
f (x) = x/(e^x + 1) +2.
On désigne par C_f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; i; j); unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Déterminer la limite de f en + inf et interpréter graphiquement ce résultat.
2) a) Déterminer la limite de f en - inf.
b) Démontrer que la droite (d) d'équation y = x + 2 est une asymptote pour C_f .
c) Etudier la position de C_f par rapport à (d).
3) a) Montrer que la fonction dérivée de f a le même signe que la fonction g étudiée dans le A).
b) Montrer qu'il existe deux entiers p et q tels que f (alpha) = p alpha + q.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4) Tracer la courbe C_f dans le repère (O; i; j) avec ses asymptotes et sa tangente au point d'abscisse alpha.