mathiroise

Dans cet article je vais encore travailler avec des homothéties bien choisies pour démontrer que le cercle circonscrit  à un triangle contient  quelques points  remarquables.

Dans cet article et le précédent vous pouvez remarquer que l'orthocentre joue un rôle important. Mais au fait, pourquoi orthocentre ? De quoi est-il le centre ? Ce sera l'objet du prochain article.

Une droite remarquable dans un triangle quelconque : la droite d'Euler.

Voici un joli théorème de géométrie du plan qui a la particularité de s'expliquer en se plongeant  dans l'espace.

Considérons deux triangles ABC et A'B'C' tels que (AA'), (BB'), (CC') soient concourantes en un point que nous noterons  S.
Alors les points X intersection de (AB) et (A'B')
                             Y intersection de (BC) et (B'C')
                             Z intersection de (CA) et (C'A')

sont alignés.               

Voir la première figure au dessus                                            


Démontrons le :
Faisons un peu le ménage dans les tracés : voyons dans SABC la représentation en perspective cavalière d'un tétraèdre ( Figure en dessous, désolé pour certains traits qui auraient du figurer en pointillés).

Considérons 3 points A', B' et C' placés sur les arêtes respectives (SA) , (SB) et (SC).
Considérons le plan (A'B'C') et intéressons nous à l'intersection de ce plan et du plan (ABC). On sait que c'est une droite  que je note (D).

(A'B')  et  (AB) sont contenues dans la face (SAB). Elles se coupent en X qui est donc  un point de (D).
(B'C') et (BC) sont contenues dans la face (SBC). Elles se coupent en Y qui est donc un point de (D).
(C'A') et (CA) sont contenues dans la face (SCA). Elles se coupent en Z qui est donc un point de (D).
Et voilà mes 3 points alignés sur (D), tracée en rouge.

C'est joli, vous ne trouvez pas ?