mathiroise

Je vous propose cette semaine quelques démonstrations de l'égalité :
                                        1 = 2.

Première méthode :
    -2 = -2
    4 - 6 = 1 - 3
    4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
    (2 - 3/2)² = (1 - 3/2)²
    2 - 3/2  = 1 - 3/2
    2 = 1

Deuxième méthode
Considérons deux nombres a et b.
Si a = 1 et b = 1 alors a = b
On a donc: a b = b² après multiplication par b
puis : ab - a² = b² - a²    (on enlève a² aux deux membres)
On factorise : a (b - a) = (b - a) (b + a)
Simplifions par (b - a), il vient : a = b + a.
Remplaçons a et b par leurs valeurs : 1 = 1 + 1 = 2

troisième méthode (accessible aux  TS seulement)
On part de l'égalité : -1/1 = 1/-1 que l'on transforme en : i²/1 = 1/i².
On prend les racines : i/1 = 1/i d'où l'on tire après multiplication par 1/2
         i/2 = 1/2i
On ajoute 3/2i
i/2 + 3/2i = 1/2i + 3/2i.
Multiplions par i : i(i/2 + 3/2i) = i(1/2i + 3/2i)
On distribue : i²/2 + 3/2 = 1/2 + 3/2
On remplace i² par -1 et -1/2 + 3/2 = 4/2 = 2 ou encore 1 = 2

quatrième méthode
Soit S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...
Groupons les termes 2 par 2
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0
Isolons le premier 1 et groupons les suivants 2 par 2 :
S = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.
En prime nous avons droit au joli résultat 0 = 1. Ajoutons 1 et il vient :
        1 = 2.
Une petite récurrence nous montrerait sans problème que tous les entiers naturels sont égaux...


énigme de la semaine passée : je ne vous ferai pas l'affront de donner la réponse...

Dans ce royaume cruel, le monarque a décidé d'exécuter 2 des 3 prisonniers et de gracier le troisième.
Le gardien aussi cruel que son souverain se refuse de dire aux prisonniers lequel sera gracié.
Un des 3 prisonniers appelle le gardien :"si au lieu de te demander si je serai pendu ou pas, je te demande seulement lequel des deux autres prisonniers sera pendu, tu acceptes de me répondre ?"
"Tu sais déjà que l'un des deux autres sera pendu . Savoir lequel exactement ne t'apportera aucune information supplémentaire sur ton propre sort donc j'accepte"
Discrétement il lui désigne un des deux autres prisonniers.
"Merci beaucoup gardien, me voilà à présent un peu soulagé"
"Pourquoi donc  ?" s'étonne le gardien.
" Tout à l'heure j'avais deux chances sur trois d'être pendu. Or à présent je n'ai plus qu'une chance sur deux : moi ou le prisonnier que tu n'as pas désigné."

Qu'en pensez vous ?

Soit n un entier naturel supérieure ou égal à 2.
Je vais vous démontrer  par récurrence que  n points distincts d'un plan sont toujours alignés.
étape 1 : On fonde à n = 2  (pas d'intéret pour n = 0 ou n = 1).
Soit A₁ et A₂ deux points du plan distincts. On sait bien qu'il existe une droite contenant ces deux points.
étape 2 : on vérifie l'hérédité.
On suppose que n points distincts d'un plan sont toujours alignés. Montrons qu'alors  n+1  points distincts sont encore alignés.
Désignons A₁, A₂, A₃, ...,A_n , A_n+1  ces n+1 points.
Considérons  : A₁, A₂, A₃ , ...A_n : il y  a n points et d'aprés l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés sur une droite que je nommerai (A₂A_n) par exemple.
Considérons maintenant A₂, A₃, ..., A_n, A_n+1 : il y en a encore n et l'hypothèse de récurrence s'applique à nouveau et voilà ces n points alignés sur une droite que je peux encore appeler (A₂A_n).


Mais alors les n+1 points sont bien sur la droite (A₂A_n) et ils sont donc alignés !

Le principe de récurrence permet donc d'affirmer que n points d'un plan sont toujours alignés...

Il y a nécessairement un problème quelque part..
A vous de chercher.

Combien de fois par semaine aimeriez-vous aller au cinéma ?

Multipliez ce nombre par 2.

Ajoutez 5.

Multipliez le résultat par 50.

Si votre date anniversaire est passée, ajoutez 1757, sinon ajoutez 1756.

Retranchez votre année de naissance au nombre obtenu.

Vous venez d'obtenir un nombre à 3 chiffres.



Le chiffre des centaines est le nombre de fois où vous aimeriez aller au cinéma.

Le chiffre des dizaines et des unités forment votre âge.



Explication ?

Comment adapter le texte pour l'an prochain ?

Blaise de Vigenère (1523-1596)  , diplomate français va concevoir un nouveau mode de codage permettant de coder une même lettre de différentes façons. L'étude statistique des lettres ne fournit plus alors un moyen de décodage. Voici comment il  procède.
Nous voulons coder le message suivant :
Les mathématiques nous réservent bien des surprises.

Choisissons une clé : CODE  (c'est un mot connu de vous et de votre interlocuteur seulement)
Ecrivons lla clé  sous le message autant de fois que nécessaire.

L  E S  M A T H E M  A  T I  Q U E S N O U S R  E S E R V  E N T  B  I  E N D E S S  U R P R  I  S E S
C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C O D E C

La première lettre à coder est le L. En dessous nous lisons C qui est la lettre de rang 3 dans l'alphabet.
Le L sera codé par la lettre décalée de trois rangs donc par O.
Ensuite le E (rang 5)est au dessus du O (lettre de rang 15) . Le E est donc codé T.
S (rang 19) au dessus de D (rang 4) sera codé W
M (rang 13) au dessus de E (rang 5) sera codé R

Vous avez compris ?  Alors vous pouvez terminer le codage...

O T W R...

Maintenant votre interlocuteur reçoit son message codé. Réfléchissez à la façon dont il va le décoder . Je vous rappelle que lui aussi connait la clé CODE.



Un léger décalage entre les lettres apparait sur le blog  et rend   les correspondances plus difficiles à lire.
J'en suis désolé. Le mieux est de recopier  sur une feuille.