Mercredi 28 mai 2008

Univers hostile

Dans un désert, il y a des serpents, des souris et des scorpions.
Chaque matin, chaque serpent mange une souris.
Chaque midi, chaque scorpion pique un serpent, et ça ne pardonne pas !
Chaque soir, chaque souris mange un scorpion.
Au bout d'une semaine, il ne reste plus qu'un animal : une souris.


Combien y avait-il de souris au début ?


Problème de la semaine passée
Notons n l'âge de Sam.
n+1 est un nombre pair donc n est un multiple de 2 augmenté de 1.
n+2 est un multiple de 3 mais alors n est un multiple de 3 augmenté de 1.
n+3 est un multiple de 4 mais alors n est un multiple de 4 augmenté de 1.
n+4 est un multiple de 5 mais alors n est un multiple de 5 augmenté de1.
(pour les spé math : un petit passage par les congruences rend tout ça évident)

Si on considére un multiple de 3 * 4 * 5  augmenté de 1, il possèdera obligatoirement les 4 propriétés précédentes. (multiple de 4 entraine multiple de 2)
On cherche donc un multiple de 60 augmenté de 1.
Un peu de bon sens nous conduit à 60 + 1 = 61
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 21 mai 2008

Le problème de la semaine

Monsieur Hépatt' ( Sam de son prénom) aime taquiner son entourage par des devinettes mathématiques.
Cette année, quand on lui demande son âge, il répond :
"l''an prochain, mon âge sera divisible par 2. Dans deux ans, mon âge sera divisible par 3. Dans trois ans, mon âge sera divisible par 4. Dans quatre ans, mon âge sera divisible par 5 et j'ai moins de 97 ans".

Quel est l'âge de Sam ?

 Ce serait bien d'atttendre quelques jours, disons dimanche pour proposer vos réponses.


énigme de la semaine passée :
Le joueur A peut gagner au premier jet de dé avec une probabilité de 1/3.
Il peut aussi gagner au troisième jet : pour cela il faut qu'il n'ait pas gagné au premier jet (proba de 2/3) et il faut que B n'ait pas gagné au deuxième jet (proba de 1/2) et il doit gagner au troisième jet (proba de 1/3).
D'où la probabilité : 2/3 * 1/2* 1/3 = (1/3)2.
Il peut gagner aussi au cinquième jet avec une probabilité de (1/3)3. Le raisonnement est tout à fait semblable.
Bref, on voit apparaitre les puissances successives de (1/3).
A peut donc gagner avec une probabilité de : 1/3 + (1/3)2 + (1/3)3 + ...= 1/3(1+1/3+(1/3)²+...)
Une fois de plus nous allons donner un sens à cette somme en passant à la limite dans la formule qui donne la somme des n premiers termes d'une suite géométrique .
On obtient : 1/1-q. Ici -1 < 1/3 < 1 donc cette limite est bien finie.
1/3* 1/(1 - 1/3) = 1/3 * 3/2 = 1/2.
On obtient ce résultat pas trop intuitif : A et B ont les mêmes chances de gagner.
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Samedi 17 mai 2008

Une aide pour le problème de cette semaine

Il semble que les énigmes liés aux probabilités posent quelques problèmes...
Voici un petit coup de pouce.
Commencer par construire un arbre de probabilité rendant compte du jeu ; différence par rapport à d'habitude, la ramification est infinie : le jeu peut très bien ne jamais s'arrêter.(c'est aussi ce qui fait tout le charme de l'exercice...)
S'intéresser ensuite à la probabilité de gagner d'un des joueurs, A par exemple.
A peut gagner au premier jet avec une probabilité de ???
A peut gagner au troisième jet : pour cela il faut que :    (écrire les conditions), d'où la probabilité ???(formule de proba conditionnelle)
A peut gagner au cinquième jet :  pour cela il faut que....
Et on continue comme cela jusqu'à ce que l'on voit quelque chose apparaître...
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 14 mai 2008

L'énigme de la semaine

On va rester dans le domaine des probabilités.
Deux joueurs A et B jouent au dé.
A commence : s'il fait 1 ou 2, il gagne.
Sinon, B joue : s'il fait 3,4 ou 5, B gagne.
Sinon A rejoue et gagne selon les mêmes conditions qu'au départ.
et on continue comme celà, jusqu'à ce qu'un des deux joueurs gagnent.

Calculer les probabilités de gagner pour chacun des deux joueurs.


La semaine passée : les solutions proposées m'ont convaincu sauf pour la dernière preuve. Vous étiez tout proche de la solution mais ,il manquait un  argument .
Comment donner un sens à la somme d'une infinité de termes ? Mieux que cela  :
la somme d'une infinité de termes a-t-elle toujours un sens ?
Il n'est pas question d'apporter ici une réponse définitive. Ce sera une étude que vous ferez dans l'enseignement supèrieur. Cependant, on peut déjà apporter un début de réponse quand on somme les termes d'une suite géométrique. C'est le cas ici.
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... est la somme des termes de la suite géométrique (-1)n.
Ecrivons Sn = 1 + q + q2 + q3 + ...+ qn = (1 - qn+1)/(1 - q).
Il est tentant de concevoir  la somme infinie S = 1 + q + q2 + q3 + ...  comme la limite de Sn quand n tend vers + inf.  
Encore faut-il que cette limite existe ! C'est là que ça peut coincer...
Si -1 < q < 1, pas de souci : qn+1 tend vers 0 et Sn tend vers 1/1-q.
Dans tous les autres cas, Sn tend vers +inf ou n'a pas de limite et donc
S = 1 + q + q2 + q3 + ... n'a pas de sens.
 En particulier 1 - 1 + 1 - 1 + ... n'a pas de sens car ici nous avions q = -1.
Le raisonnement est donc faux dès le départ.
Dans l'article sur la loi géométrique vous retrouvez ces notions.

 
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 2 avril 2008

Problème de la semaine

Trois amis ont acheté ensemble un ballon de foot pour 45 €.
Le premier a déboursé une somme inférieure ou égale à celle payée par ses deux amis ensemble.
Le deuxième a déboursé une somme inférieure ou égale à la moitié de celle payée par ses deux amis ensemble. Quant au troisième il a payé une somme inférieure ou égale au cinquième de celle payée par ses deux amis ensemble.
Combien chacun a-t-il payé ?


Problème de la semaine passée : un arbre de probabilité donne une probabilité de 1/8+1/4 = 3/8 sans difficulté.
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 26 mars 2008

Sortira, sortira pas ?

Cet âne a un comportement têtu : s'il a accepté de sortir de son écurie la veille, il y a une chance sur deux pour qu'il accepte d'en sortir le lendemain; quand il est resté obstinément la veille dans son écurie, il sort sans histoire le lendemain.
Il est sorti le premier jour.
Calculer la probabilité qu'il passe le quatrième jour dans son écurie.


Problème de la semaine passée.
Ne semble pas avoir eu beaucoup de succès...
Notons G l'évènement : le nouveau né est un garçon.
Notons F l'évènement : le nouveau né est une fille.
Notons g l'évènement :  le docteur a annoncé la naissance d'un garçon.
Notons f l'évènement : le docteur a annoncé la naissance d'une fille.

Les hypothèses sont : PG(f) = 1/10      PF(g) = 1/20      P(G) = P(F) = 1/2.

On veut Pf(F).
On sait que Pf(F) = P(f et F) / P(f).
 Il nous faut donc P(f et F) = PF(f) * P(F)
Comme PF(g) = 1/20 on a PF(f) = 1 - 1/20 = 19/20
Donc P(f et F) = 19/20 * 1/2 = 19/40

On a aussi P(f) = P(f et F) + P(f et G) = 19/40 + PG(f) * P(G) =
19/40 + 1/10 * 1/2 = 19/40+1/20= 21/40.
Finalement : Pf(F) = 19/40 divisé par 21/40 = 19/21.
A l'annonce d'une fille il y a une probabilité de 19/21 que ce soit vrai.
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 19 mars 2008

Fille ou garçon ?

En ce temps là, l'échographie n'existait pas. Le Docteur  Untel prévoyait  le sexe des enfants à naître.
Il se trompait une fois sur dix si c'était un garçon et une fois sur vingt  si c'était une fille.
Quand il annonçait à une femme qu'elle attendait une fille, quelle était la probabilité que ce soit vrai ?

On fera l'hypothèse qu'il naît autant de garçons que de filles.


Le problème de la semaine passée :
Choisissons nos inconnus : G le nombre de garçons candidats, g le nombre de garçons reçus, F le nombre de fillles candidates, f le nombre de filles reçues.
On a donc : (g + f ) / (G + F) = 85/100
g / G = 82 / 100 = 41 / 50 puis en égalisant les produits en croix : 50 * g = 41 * G
f / F = 95 / 100

On nous dit que g est compris entre 1110 et 1180. Et la division de 50 * g par 41 doit tomber juste et donner G.
Pour cela, il faut que g soit un multiple de 41.
Pour les spémaths, ils verront là (je l'espère...) une application du théorème de Gauss : 41 divise 50 * g avec 41 et 50 premier entre eux donc 41 divise g.
Bien, on continue. 1110 = 41 * 27 + 3 donc 1110 + 38 = 1148 est multiple de 41. Le multiple suivant est 1148 +41= 1189 qui sort de la fourchette. On a donc déjà g = 1148. Et aussi G = (50 * 1148) / 41 = 1400

Revenons aux pourcentages du début : g + f = 85%(G + F) = 82% G + 95% F. On multiplie par 100 et il vient :85 (G + F) = 82 G + 95 F soit après simplification : 3 G = 10 F. On en déduit F = (3 * 1400) / 10 = 420.
Et le nombre de lauréats est donc : 85%(1400 + 420) = 1547




par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 12 mars 2008

L'énigme de la semaine

Monsieur le Recteur d'Académie est content : à la dernière session du baccalauréat,en S, 85% des candidats ont été reçus.
Les statistiques donnent 82% de reçus chez les garçons et 95% de reçues chez les filles.
De plus , il est ravi de n'avoir eu à arrondir aucun pourcentage.

Sachant que le nombre de garçons reçus est compris entre 1 110 et 1 180, calculez le nombre d'élèves reçus.


Problème de la semaine passée :(pas facile à expliquer...)
On fait l'hypothèse que B est 4eme
1) Alors E n'est pas 3eme
2) donne A est premier
3) donne D est 4eme
6) comme D est 4eme (d'après 3) on a E qui est 3eme en contradiction avec la conséquence de 1).

On en conclut que E est 3eme d'après 1)
5) donne F est 5eme.
3) donne D est 4eme
4) donne A est premier
2) donne B n'est pas  2eme donc il est dernier c'est à dire  6eme
Par élimination : C est 2eme


Conclusion : A, C, E, D, F, B
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 5 mars 2008

La route du Rhum

Lors de la Route  du Rhum, 6 spectateurs annoncent chacun leurs pronostics :
1) Le bateau  Battant le vent sera 4e et Ecume des mers sera 3e.
2) Le bateau Albatros sera 1er et  Battant le vent sera 2e.
3) Le bateau Battant le vent sera 5e et Dents de la mer  sera 4e.
4) Le bateau Albatros sera 1er et  Corne de brume sera 3e.
5) Le bateau Corne de brume sera 3e  et Foc la galère sera 5e.
6) Le bateau Dents de la mer sera 2e et Ecume des mers sera 3e.

En définitive , chaque spectateur ne possède qu'un seul bon pronostic.


Quel est l'ordre d'arrivée ?

Merci d'attendre quelques jours avant de donner vos réponses...
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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Mercredi 20 février 2008

Allez vous faire cuire un oeuf !

Pour cuire un oeuf à la coque, vous disposez de 2 sabliers : l'un de 6 minutes, l'autre de 7 minutes.
Comment vous y prendre pour décompter exactement les 3 minutes nécessaires à votre cuisson préférée ?


Dans le même style : une cuisson de 15 minutes avec deux sabliers de 11 minutes et de 7 minutes.



Le problème précédent :
Alors, on a bien séché ?
 Décomposons 36 en produit de 3 entiers consécutifs (rangés par ordre croissant pour ne pas se répéter) et indiquons en face la somme des 3 facteurs.

36 = 1 *  1 * 36         1 + 1 + 36 = 38
     = 1 * 2 * 18           1 + 2 + 18 = 21
     = 1 * 3 *12            1 + 3 + 12 = 16
     = 1 * 4* 9               1 + 4 + 9 = 14
      = 1 * 6 * 6             1 + 6 + 6 = 13
      = 2 * 2 * 9             2 + 2 + 9  = 13
      = 2 * 3 * 6             2 + 3 + 6  = 11
     =  3 * 3 *4              3 + 3 + 4 = 10
    Imaginons que la conversation ait lieu en face du 16 de la rue : sans hésitation on peut en déduire que les 3 filles ont 1, 3 et 12 ans.
Si à la connaissance de la somme ( on regarde le numéro de la maison d' en face) on ne peut pas conclure , c'est que ce numéro est le 13 (le seul pour lequel il y a 2 possibilités : 1, 6 , 6    ou 2 ; 2 ; 9).
Mais le premier mathématicien nous apprend qu'il y a une fille ainée, donc la solution 1,6,6 est à éliminer.
Finalement les 3 filles ont  2,2 et 9 ans.
(il y avait bien 2  jumelles...)
par ANDRE publié dans : Jeux mathématiques
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