Dimanche 30 décembre 2007
Dans cet article nous allons faire le
point et définir la puissance du continu.
Mercredi 26 décembre 2007
Une présentation du théorème de Cantor-Bernstein et un exemple d'utilisation.
Cet article demande la lecture précédente de l'article 10.
Dimanche 16 décembre 2007
Une idée géniale : la diagonale de Cantor.nti_bug_fck
Mercredi 12 décembre 2007
Pour bien suivre ce qui va venir, une petite mise au point sur les ensembles Q et R
s'impose.
C'est un peu en marge de ce que je souhaite vous faire découvrir mais nécessaire.
Faisons le point : tous les ensembles E infinis rencontrés jusqu'ici, sont équipotents à ℕ : pour chacun nous avons réussi à établir une bijection de E dans
ℕ.
Le principe est toujours le même : tout se passe comme si l'on faisait défiler devant nous les éléments de E et on leur associe un entier n correspondant à l'ordre
de passage. Finalement nous faisons la même chose que le berger et ses cailloux dont je vous parlais il y a quelques temps : bon, il y a juste une infinité d'éléments, ce sera un peu plus
long...
On dit que ces ensembles infinis équipotents à ℕ sont dénombrables.
J'en ai oublié un qui est aussi très connu, c'est l'ensemble des entiers naturels premiers : il est infini et dénombrable.
La bijection toute naturelle est donnée en dessous :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13
14...
Un ensemble infini dénombrable, peut donc être strictement contenu dans ℕ, et avoir un cardinal égal à celui de ℕ ou contenir ℕ et avoir encore un cardinal
égal à celui de ℕ.
Et ℝ ? Pourra-t-on établir une bijection entre ℕ et ℝ ?
Ce sera l'objet du prochain article et vous ne serez pas déçus...
