Mercredi 14 mai 2008

La loi géométrique (TS)

La loi géométrique concerne le joueur obstiné qui tient le raisonnement suivant : " tant que je perds, je joue."
Attitude assez classique du joueur.
L'article vous donnera une nouvelle approche du calcul des probabilités pour une variable aléatoire prenant cette fois une infinité de valeurs.
C'est une suite logique du cours de probabilité de TS, et une occasion de rencontrer à nouveau les suites géométriques, la somme de leurs premiers termes et leur limite.
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Vendredi 9 mai 2008

La parabole : un cas particulier de coniques

La parabole fait partie d'une famille de courbes appelées coniques. Leur étude se fait maintenant dans l'enseignement supérieur. Voici un site qui vous fait découvrir les différents types de coniques et différentes approches possibles
                                 


                                                                               Coniques
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Jeudi 8 mai 2008

Compléments sur la parabole.

Suite au TD de mercredi matin, voici quelques informations complémentaires sur les paraboles.
Je commence par définir géométriquement une parabole, j'introduis la notion de foyer et directrice.
Dans un deuxième temps je démontre une propriété géométrique à la base des applications concrètes des paraboloïdes.
Les techniques utilisées rentrent parfaitement dans le cadre du programme de terminale.
Bonne lecture.
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Samedi 22 mars 2008

La loi de Benford.

Munissez vous d'un catalogue publicitaire comme ceux qui traînent dans nos boites à lettres à longueur d'année.
Bien, en voilà un au moins qui aura son utilité : il va vous faire découvrir que les premiers chiffres significatifs des nombres qui nous entourent dans la vie courante ne se répartissent pas de manière équiprobable. Bien au contraire , la répartition suit  une loi de probabilité connue sous le nom de loi de Benford.
Je vais me faire un plaisir de vous expliquer tout ça.
Chiffre significatif ? Il faut imaginer le nombre écrit sous sa forme scientifique : le premier chiffre significatif est celui devant la virgule.
Pour 14,20 c'est 1; pour 254,85 c'est 2; pour 0,45 c'est 4.
Le premier chiffre significatif  peut donc prendre les valeurs : 1,2,3,4,5,6,7,8 et 9.

Bon prenons notre catalogue, étudions la fréquence d'apparition  du premier chiffre significatif des prix  qui s'y trouvent. Vous vous attendez à une répartition à peu près équilibré ? Vous allez être surpris.
On voit très vite la prédominance du 1 appararaître, suivie par celle du 2, puis par celle du3, du 4, du 5, du 6, du 7, du 8 et le 9 pour finir. C'est  fou, non ?

Mon étude statistique personnelle :
Sur 292 articles.
                1       2       3       4       5       6       7       8       9

             107    41      30     29       29     19     12      12    13
L'anomalie sur le 9 est tout à fait explicable : c'est la fluctuation d'échantillonage que vous avez découverte en seconde . Avec un catalogue, plus épais il aurait sans doute été possible de faire mieux...
L'idée m'est alors venue d'utiliser un tableur pour étudier les premiers chiffres des termes de suites mathématiques bien connues.
Celle des carrés parfaits pour commencer.
Pour les carrés de 1 à 3732 (choisi au hasard)
    1            2         3         4         5         6         7         8         9
1045        735      581      493     250      178      161     152      137

Pour les inverses d'entiers entre 1 et 3732
    1          2          3          4          5          6          7          8           9
882          687      692     515         291     205       173     154        133

Petite anomalie au niveau du 2 et du 3.

Pour la suite des factorielles d'entiers de 1 à 170.
  1         2         3         4         5         6         7         8         9
54        29       22       12       12         10         6        14       11

Enfin la suite de Fibonacci : u0 = 1   u1 = 2   un+2 = un+1 + un.      (de 1 à 1000)
1         2         3         4          5          6          7          8          9
283     167      117     91          74        64        54        50         42

Pour cette dernière la décroissance est manifeste !

C'est à partir de travaux de ce genre (20 000 observations !) que Franck Benford , physicien Américain émet l'hypothèse que la probabilité que le premier chiffre significatif soit n est égale à : log10(1 + 1/n). Vous remarquerez la démarche expérimentale qui n'est pas trop fréquente en mathématiques, mais Benford est un physicien...
Voilà une belle occasion d'illustrer ce que nous venons de voir cette semaine.
Appelons X la variable aléatoire égale au premier  chiffre significatif.
La loi de probabilité de Benford donne donc : P(X = n) = log (1 + 1/n). (il s'agit du logarithme décimal).
Commençons par vérifier que nous avons bien défini une loi de probabilité.
pour n entier compris entre 1 et 9, 1 + 1/n est compris entre 1 et 10 donc son logarithme décimal est bien entre 0 et 1.
On peut écrire log (1 + 1/n) = log [(n+1)/n] = log (n+1) - log n
Sommons les 9 probabilités et vérifions que la somme est 1.
log2 - log1 + log3 - log2 + log4 - log3 +... + log 9 - log 8 + log 10 - log 9 = log 10 - log 1 = 1
Dresssons maintenant un tableau de ces 9 probabilités.
1
 2
 3 4 5 6 7 8 9
0,301 0,176 0,125 0,097 0,079 0,067 0,058 0,051 0,046

Ce sont bien entendu des valeurs théoriques, mais si vous les comparez avec les fréquences des séries observées au dessus, le rapprochement est parfois saisissant (suite de Fibonacci par exemple).
Cette loi a trouvé une application dans la lutte contre la fraude fiscale : un comptable peu scrupuleux, qui falsifie un livre de compte oublie (ou ignore...) le respect de la loi de Benford. Une analyse statistique des premiers chiffres significatifs fera apparaître une anomalie et donc une fraude probable. Joli, vous ne trouvez pas ?
Maintenant il faut aussi être conscient que certaines séries échappent totalement à la loi de Benford.
Si je relève le poids des 600 élèves du lycée, peu de chance de voir apparaître une prédominance du 1...
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Samedi 15 mars 2008

TS1 Les dates anniversaires.

Quelle est la probabilité que deux d'entres vous au moins aient la même date anniversaire ?
C'est un  problème classique en probabilité qui surprend toujours par le résultat, que je vous propose de découvrir.
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Jeudi 10 janvier 2008

Les paradoxes de Zénon (TL et aussi les autres)

Il est fait référence dans le programme de TL aux paradoxes de Zénon. Vous en avez entendu parler en philosophie. J'ai choisi de vous parler des deux paradoxes les plus connus  le paradoxe de la flèche  et le paradoxe d'Achille et la tortue .
Commencez  par le paradoxe de la flèche, c'est plus simple.

Pour les  TS on peut dire que la connaissance de  ces paradoxes fait partie de la culture scientifique. C'est aussi l'occasion de quelques revisions sur les suites géométriques.
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Mercredi 9 janvier 2008

TS : une figure liée à l'inversion

Sur cette figure, vous pouvez voir une illustration des propriétés vues  dans le TD de mercredi.


Le cercle de centre A et rayon 2 (qui passe par  O) est transformé en une droite(X = 1/4) et réciproquement, cette droite à son tour est transformée en un cercle passant par O.
(c'est la propriété d'involution)

Le résultat est général : les deux droites verticales (X = 1), (X = 2) ont pour images les deux cercles (en noir) passant par O.

J'ai ensuite tracé des cercles tangents aux deux verticales et tangents entre eux.
Cette fois ces cercles ne passent pas par O et ils ont pour images  les cercles de la même couleur.
Vous remarquerez que les cercles images sont à nouveau tangents entre eux, et tangents aux cercles noirs.
C'est ce que l'on appelle la conservation du contact : si deux courbes sont tangentes, leur courbe image sont encore tangentes.

Joli comme  figure vous ne trouvez pas ?
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Lundi 17 décembre 2007

Le crible géométrique de Mathassevitch (TS)

Une intervention inattendue des nombres premiers.
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Jeudi 6 décembre 2007

Complément au DM3 : sinus et cosinus hyperbolique (TS)

Deux fonctions dont vous entendrez parler  l'an prochain : sh et ch.
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Vendredi 28 septembre 2007

Algorithme d'Horner (TS)

Voici quelques informations supplémentaires sur cet algorithme qui semble vous avoir plu.


                                                    VOIR
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