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9 décembre 2009 3 09 /12 /décembre /2009 18:42
Rappel :
Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a ≡ b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b +7k.
1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
a. Soient a, b, c et d des entiers relatifs.
Démontrer que : si a ≡ b mod 7 et c ≡ d mod 7 alors ac ≡ bd mod 7.
b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls : si a ≡ b mod 7 alors pour tout entier naturel n, an ≡ bn mod 7.

2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que
an ≡ 1 mod 7.
3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a. Montrer que : a6 ≡ 1 mod 7.
b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel
non nul tel que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division
euclidienne de 6 par k vérifie ar ≡ 1 mod 7.
En déduire que k divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles de k ?
c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.
4. À tout entier naturel n, on associe le nombre An = 2n +3n +4n +5n +6n.
Montrer que A2006 ≡ 6 
mod 7.

PARTIE A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition,
lamultiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec lamultiplication.

PARTIE B
On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
βα712 = β×122 +α×12+7 = 11×122 +10×12+7 = 1711 en base 10
1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 : N1 = β1α12
Déterminer l’écriture de N1 en base 10.
b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 : N2 = 1131 = 1×103 +1×102 +3×10+1
Déterminer l’écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base12 :
           N = an · · · a1a012
2. a. Démontrer que N
a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3
d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3.
Confirmer avec son écriture en base 10.
3. a. Démontrer que N
an +· · ·+a1 +a0   (mod 11). En déduire un critère de divisibilité
par 11 d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11.
Confirmer avec son écriture en base 10.
4. Un nombre N s’écrit x4y
12.Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles
N est divisible par 33.



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Published by ANDRE - dans ROC
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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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