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17 mars 2010 3 17 /03 /mars /2010 21:47
Une énigme qui colle parfaitement au cours de cette semaine.
On va s'intéresser à l'événement : l'espion gagne

Au minimum une partie demande de jeter 3 dés.
L'espion gagne après trois lancers signifie que l'on a obtenu :" blanc, blanc, blanc"     ou "bleu, bleu, bleu "   ou  " rouge, rouge, rouge"    chacun de ces événements ayant pour probabilité (1/3)^3 = 1/27
L'espion gagne après 3 lancers a donc pour probabilité 3 * 1/27 = 1/9.

Maintenant" l'agent secret gagne après trois lancers "signifie que l'on a obtenu bleu, blanc, rouge dans tous les ordres possibles : cela nous fait 6 possibilités ayant encore chacune une probabilité de 1/27 donc l'espion gagne après trois lancers avec une probabilité de  6/27 = 2/9

Finalement la partie se prolonge avec une probabilité de 1 - 1/9 - 2/9 = 6/9 = 2/3. On a alors obtenu deux fois une même couleur et une troisième couleur (peu importe l'ordre) : C1  C1  C2

Sachant que la partie demande un quatrième lancer : On obtient sur le quatrième dé C1, C2 ou C3.

Si on obtient C1 : l'espion a gagné et la probabilité que l'espion gagne après 4 lancers est donc : 1/3 * 2/3 = 2/9.
Si on obtient C3, l'agent secret a gagné.
Si on obtient C2 : C1  C1 C2  C2   ne permet pas de départager et un cinquième lancer est nécessaire.
La probabilité qu'un cinquième lancer soit nécessaire est encore encore 1/3 * 2/3 = 2/9
Sachant qu'un cinquième lancer est nécessaire : On obtient sur le cinquième dé C1, C2 ou C3

Si c'est C1 ou C2 l'espion gagne et la probabilité que l'espion gane au cinquième lancer est donc : 2/9 * 2/3 = 4/27.
Si c'est C3 : l'agent secret a gagné.
On sait donc déjè qu'il faut au plus 5 lancers pour connaître le gagnant.
L'espion gagne avec une probabilité de  : 1/9 + 2/9 + 4/27 = (3 + 6 + 4)/27 = 13/27.
L'agent secret gagnera donc avec une probabilité de 1 - 13/27 = 14/27.  Léger avantage...


Cette semaine, pas de nouvelles énigmes. Je vous invite à écouter cette chanson de Jean Ferrat.






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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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