Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
12 mai 2010 3 12 /05 /mai /2010 19:20

Excellent pour des petites revisions d'arithmétique...

 

Je suis un nombre entier, et mon écriture décimale nécessite trois chifffres.

Qu'on m'additionne aux deux entiers qui m'encadrent, on obtient un carré parfait.

Qu'on m'additionne aux quatre entiers qui m'encadrent, on obtient un cube  parfait.


Qui suis-je ?

 

Enigme de la semaine précédente :

Une remarque : quand on parle de la différence de deux chiffres d et u, il est impossible de savoir si on parle de d - u ou de u - d...

La mise en équation nous obligera donc à considérer les deux cas. Mais alors il nous faut remarquer que les âges de César et de ses deux convives vérifient la même condition, contrairement à ce qu'en pense César.

On cherche des entiers d et u avec 0 <= d <= 9 et 0 <=u<=9 tels que :

  (10d + u) + d u + d + u + d - u  = 100     ou  (10d + u) + d u + d + u + u - d  = 100  .

Soit après simplification :

d u + 12 d + u = 100              ou            d u + 10 d +3 u = 100.

On va utiliser maintenant une astuce du même style que celle utilisée dans une mise sous forme canonique : du + 12d + 1*u est le début du développement de (d + 1) (u + 12) : il manque juste le 12.

Ecrivons : du + 12d + u = du + 12d + u + 12 - 12 = (d + 1)(u +12) - 12

On a donc : d u + 12 d + u = 100  équivaut à (d + 1)(u +12) - 12 = 100

                                                         équivaut à (d + 1)(u +12)  = 112

112 = 1 * 112 = 2 * 56 = 4 * 28 = 8 * 14 = 7 * 16

Les encadrements de d et u nous donnent deux possibilités : d = 7 et u = 2 ou d = 6 et u = 4


Je vais plus vite pour la deuxième équation :

d u + 10 d + 3 u = 100 équivaut à (d + 3) (u +10) - 30 = 100

                                    équivaut à (d +3) ( u + 10) = 130

avec 130 = 1 * 130 = 2 * 65 = 5 * 26 = 10 * 13

Seule possibilité : d = 7 et u = 3.

Nous avons donc les âges des trois personnages. L'aîné ne peut être la femme de Pierre, mais je ne vois pas comment distinguer les âges des 3 personnes ?


72 ans, 73 ans et 64 ans. Aude ne pouvant pas avoir 73 ans.

 


 

 

 

Partager cet article

Repost 0

commentaires

Sonia 13/05/2010 12:07



Pas d'élèves aujourd'hui, donc  j'avais le droit de me coucher tard...



Sonia 13/05/2010 00:15



Ah zut, Juliette a dégainé plus vite...



ANDRE 13/05/2010 12:03



Ta solution est intéressante, un esprit un peu différent de celle de Juliette et de la mienne. Est-on certain d'avoir l'unicité : 675 convient mais est-ce la seule solution au problème ?


Maintenant il ne faudrait pas que les énigmes soient une cause d'insomnie pour ceux qui cherchent à les résoudre, je dis ça en voyant l'heure de ton commentaire ...



Sonia 13/05/2010 00:14



Notons abc le nombre recherché (notation décimale).


Additionner à abc son prédécesseur et son successeur revient à calculer 3*abc. Donc pour que 3*abc soit un carré parfait, il faut que abc soit un multiple de 3, autrement dit, a+b+c est un
multiple de 3.

Additionner à abc ses deux prédécesseurs et ses deux successeurs revient à calculer 5*abc. Donc pour que 5*abc soit un cube parfait, il faut que abc soit un multiple de 25. Donc bc = 00 ou 25
ou 50 ou 75.



On se rend rapidement compte que le nombre 3^3 * 5^2, c'est-à-dire 675 est un bon candidat. Vérification :


674+675+676 = 2025 = 45²

673+674+675+676+677 = 3375 = 15^3



ça roule ?



Juliette 12/05/2010 22:36



Tout d'abord, la mise en équation, avec x l'entier que l'on cherche, et a et b d'autres entiers. Si je ne me trompe pas, on obtient :


3x = a²    et    5x = b^3       (a est donc multiple de 3 et b multiple de 5)


D'où :  5*a²/3 = b*b*b = (5*b')*(5*b')*(5*b')


           a² = 5*5*(b'*b'*b'*3)


Donc a² est divisible par 25, et ainsi, a est au moins divisible par 5. (et par 3, voir précédemment)


De même, on obtient b divisible par 3. (et par 5, voir plus haut)


3*5 = 15


On essaye a=15, mais 225/3 n'est pas un nombre à trois chiffres.


On essaye b=15, on trouve x=675 et en vérifiant : 3*675=2025=45²


L'entier cherché est donc 675.



ANDRE 13/05/2010 11:54



C'est bon. On peut gagner un peu de temps en considérant les remarques faites sur les décompositions en produit de facteurs premiers d'un carré parfait et d'un cube parfait (exposants multiples
respectivement de 2 et de 3). J'ai même réussi à y glisser le théorème de Gauss... En fait on peut avoir directement x multiple de 675 puis x = 675 en se limitant aux entiers à 3 chiffres.


Mais si mes énigmes ne résistent plus que quelques heures, il va falloir que j'en cherche des plus coriaces...



Présentation

  • : Le blog de Alain ANDRE
  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
  • Contact

Recherche

Archives

Pages

Liens