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28 avril 2010 3 28 /04 /avril /2010 21:42

En multipliant 1 par 2 par 3 par 4 et en ajoutant 1, on trouve 25, le carré de 5.

En multipliant 2 par 3 par 4 par 5 et en ajoutant 1, on trouve 121, le carré de 11.

En multipliant 3 par 4 par 5 par 6  et en ajoutant 1, on trouve 361, le carré de 19.


Et en multipliant 2007 par 2008 par 2009 par 2010 et en ajoutant 1 ?


               (d'après Jeux mathématiques du "Monde")

 

(Calculatrice interdite bien entendu...)

 

Correction de l'énigme 25

Je me suis aidé d'un arbre de choix.

AX ou AY ou AZ ou AT donne un nombre d'oeufs multiple de 5.


Pour les autres enfants, il est impossible de récupérer des multiples de 5. Si on veut que le nombre total d'oeufs finisse par 5, il est nécessaire d'avoir AY   (15 oeufs entre le père et le fils)


Ecrivons S = S' + 15 où S est le nombre total d'oeufs et S' le nombre d'oeufs ramassés par les familles X, Z, T.

S' est obligatoirement un multiple de 10.

J'ai examiné tous les cas : la seule possibilité est 16 + 12 + 12 = 40

Ce qui correspond à : AY, BX, CT, DZ

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commentaires

John 29/04/2010 18:16



J'ai mal écrit le résultat, c'est : ( 4034071 )² = 16 273 728 833 041


Et 2007*2008*2009*2010 + 1 = 16 273 728 833 041



John 29/04/2010 18:02



Un peu de mal pour celle-ci.


J'ai donc écrit les différentes façons et calculer et j'en ai ressorti les points communs :


Partons de U1 = 5²


U2 = ( √U1 + 6*1 + 2*0)²


U3 = ( √U1 + 6*2 + 2*1)²


U4 = ( √U1 + 6*3 + 2*3)²


U5 = ( √U1 + 6*4 + 2*6)²


U6 = ( √U1 + 6*5 + 2*10)²


On multiplie donc 6 par n-1. Les chiffres en gras représentent la somme des entiers naturels successifs : 1+2+...+n-1+n ou [n(n+1)]/2


Ici on remplace n par n-2 soit  [(n-2)(n-2+1)]/2 = (n²-3n+1)/2


La formule est donc Un = ( √U1 + 6*(n-1) + 2*[(n²-3n+1)/2) )²


Qui donc donne Un = ( √U1 + n² + 3n - 4 )²


On remplace √U1 par 5 : Un = ( n² + 3n + 1 )²


On cherche le 2007ème terme : U2007 = (2007² + 3*2007 + 1)²


U2007 = ( 4028049 + 6021 + 1 )² = ( 4034071 )² = 16 273 728 833 040


 



ANDRE 29/04/2010 19:30



Hum ! Hum ! L'idée est intéressante, tu as manifestement un bon esprit d'observation.


Maintenant il faut être conscient qu'une petite récurrence s'imposait pour avoir notre résultat rigoureusement.


C'est une solution satisfaisante que tu peux comparer à celle de Sonia.



Sonia 28/04/2010 23:39



Ma proposition consiste à chercher l'écriture générale du résultat sous forme d'un carré.


On appelle n le deuxième entier.


L'opération à effectuer est donc (n-1)n(n+1)(n+2) + 1.


En développant et en réduisant on obtient : n^4 + 2n^3 - n² - 2n + 1. Avec un peu d'intuition, j'ai trouvé que c'était (n² + n -
1)².


Ici on a n = 2008.


Donc 2007*2008*2009*2010 + 1 = (2008² + 2008 - 1)².


En calculant (2000 + 8)², on trouve :


(4.000.000 + 32.000 + 16 + 2007)².


Le résultat attendu est donc "le carré de 4.034.023".



ANDRE 29/04/2010 19:23



Voilà une énigme vite résolue...


C''est effectivement la solution que j'ai adoptée. Le choix de n en deuxième entier n'est pas justifiè ici : c'est une petite astuce qui rend service pour un nombre impair de termes.


Si on ne veut pas faire appel à l'intuition (mais c'est bien d'en avoir...) on peut chercher a, b, c tels que (a n² + bn + c)² = n^4 + 2 n^3 - n² -2n +1. La méthode des coefficients indéterminés
règle la question.



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  • : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de Kérichen à Brest
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