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31 mars 2010 3 31 /03 /mars /2010 21:03

En famille ou entre voisins, pour Pâques, il est de tradition de cacher des oeufs dans le jardin, et c'est à qui en trouvera le plus. Quatre enfants sont là, avec leur père ou leur mère.

Au bout de la matinée, Alexandre a découvert 5 oeufs, Béatrice en a trouvé 4, Chloé une demi-douzaine et Damien 2 seulement.

Les parents eux aussi participent à la recherche, et ce ne sont pas les moins acharnés : Monsieur Xéres en trouve trois fois plus que son enfant, Madame Yvon deux fois plus que le sien, Madame Zinox cinq fois plus que son rejeton, et Monsieur Toudou autant que le sien.

Du nombre total d'oeufs, on sait juste qu'il se termine par 5.

 

Quels sont les noms de famille des quatre enfants ?

 

                                                          jeux mathématiques du Monde

 

correction de l'énigme précédente :

C'est l'énigme que j'ai eu le plus de plaisir à chercher. Je vais en donner une solution en dimension 2. J'y reviendrai en fin d'année avec une jolie démonstration en dimension 3, mais pour l'instant il nous manque quelques résultats de géométrie dans l'espace.

Appelons AB la tige. On la casse en deux points M et N. On récupère donc trois tiges AM, MN et NB telles que :

AM + MN + NB = AB. Pour nous simplifier les notations, appelons : AB = L, AM = x, MN = y et alors on aura NB = L - x - y.

(une variante consiste à poser NB = z et donc à travailler dans l'espace).

Comme toujours en probabilité décrivons notre univers :

Une "casse" de la tige correspond à un choix d'un couple (x ; y) tel que : 0 < x < L ; 0 < y < L ; 0 < x + y < L   (la somme des longueurs AM + MN ne peut dépasser la longueur de la tige).C'est le moment de se souvenir d'un résultat sur le régionnement dans un plan : la droite d'équation cartésienne x + y - L = 0 partage le plan en deux demi plans : d'un côté les points M (x,y) tels que x + y - L > 0 et de l'autre les points M (x ; y) tels que x + y - L < 0. C'est ce dernier demi-plan qui nous intéresse. L'origine O (0;0) est dans ce demi plan. On sait donc maintenant à quoi ressemble notre univers : c'est l'ensemble des points M (x ; y) dessiné ci -dessous. (par commodité, j'ai choisi L = 1)

figureprobatriangle

Intéressons nous maintenant aux cas favorables : Pour pouvoir former un triangle avec nos trois tiges, il faut et il suffit que l'inégalité triangulaire soit vérifiée, à savoir :

x + y > L - x - y                                                      x + y > L/2                                              

x  + L - x - y > y                      ou encore :                  y < L/2       

y + L - x - y > x                                                            x < L/2

Le domaine des possibles correspond donc au rectangle marron foncé intérieur.

Maintenant un peu d'intuition : la probabilité s'exprimera par le quotient  de l'aire du domaine des possibles par l'aire de l'univers. (on adapte notre formule : nombre de cas favorable par nombre de cas total).

La probabilité est donc de 1/4.

                          


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commentaires

John 21/04/2010 19:10



J'ai oublié de préciser :


Alexandre Yvon, Béatrice Xéres, Chloé Toudou et Damien Zinox.



Juliette 20/04/2010 22:14



Ah, bien trouvé !  (à ce qu'il me semble ^^')


Moi j'avais oublié d'ajouter les oeufs trouvés par les enfants... -_-'



John 19/04/2010 13:09



Notons A : Alexandre, B : Bréatrice, C : Chloé, D : Damien, X : Monsieur Xéres, Y : Madame Yvon, Z : Madame Zinox et T : Monsieur Toudou.


Nous avons : A = 5 ; B = 4 ; C = 6 ; D = 2


X = 3*x ; Y = 2*y ; Z = 5*z ; T = 1*t


On sait que l'unité du nombre d'oeuf est 5. La somme d'oeufs trouvés par les enfants est de 17. Celle trouvée par les parents doit donc se finir par 8, le nombre est donc pair.


Par la somme de 4 nombres, nous avons 3 façons de former un nombre pair :


- Pair = Pair + Pair + Pair + Pair


- Pair = Pair + Pair + Impair + Impair


- Pair = Impair + Impair + Impair + Impair


Or un nombre Impair s'obtient par le produit de nombres Impairs.


Y = 2*y ne peut donc être Impair.


X, Z et T ont un produit Impair, Y est donc le seul être multiplié par A (Pair).


Le résultat de Z sera forcément un multiple de 10, la somme de X et T doit donc se finir par 8.


On a 3*x + 1*t


On peut donc trouver :


3*6 + 1*4 = 22            3*4 + 1*6 = 18             3*6 + 1*2 = 20


3*4 + 1*2 = 14            3*2 + 1*4 = 10             3*2 + 1*6 = 12


La bonne solution est donc 3*4 + 1*6 = 18


X = 3*4 = 12 ; Y = 2*5 = 10 ; Z = 5*2 = 10 ; T = 1*6 = 6


Soit 38 oeufs trouvés par les parents.


17 + 38 = 55 ; Il y a 55 oeufs.


Et voilà. Excusez-moi j'ai un peu de mal dans les démonstrations. J'aime beaucoup ce site.



Juliette 07/04/2010 13:53



Il me semble que l'on peut avoir :  Alexandre Xéres, Béatrice Yvon, Chloé Zinox et Damien Toudou ; mais aussi Alexandre Xéres, Béatrice Zinox, Chloé Toudou et Damien Yvon. C'est étrange
qu'il y ait plusieurs solutions... n'est-ce pas ?



ANDRE 07/04/2010 17:03



Je n'ai trouvé qu'une solution que je rédigerai ce soir, je vérifierai à cette occasion tes deux réponses.



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