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3 mars 2010 3 03 /03 /mars /2010 23:19
Dans l'esprit des carrés magiques.
Peut-on disposer en carré, comme le suggère la figure, les entiers de 1 à 8, de manière que la somme des nombres situés sur chacune des lignes et des colonnes du périmètre soit la même ?



 


(on veut un périmètre magique)

Solution de l'énigme 20 : (je ne détaille pas...)
On est amené à résoudre le système de congruences suivant :
N congru à 1 modulo 2
N congru à 0 modulo 3
N congru à 1 modulo 4
N congru à 2 modulo 5
N congru à 3 modulo 6
N congru à 4 modulo 7
N congru à 5 modulo 8
N congru à 6 modulo 9
N congru à 7 modulo 10
On peut simplifier en remarquant que si
N congru à 1 modulo 4 alors N congru à 1 modulo 2
Si N congru à 3 modulo 6 alors N congru à 0 modulo 3.
Si N congru à 5 modulo 8 alors N congru à 1 modulo 4.
Si N congru à 7 modulo 10 alors N congru à 2 modulo 5.
Finalement, le système se résume aux 5 dernières équations.
N congru à 3 modulo 6     (1)
N congru à 4 modulo 7     (2)
N congru à 5 modulo 8     (3)
N congru à 6 modulo 9     (4)
N congru à 7 modulo 10
   (5)

(4) et (5) : N = 90 k -3  (6)
(6) et (3) : N = 360 k' + 357.    (7)
(1) et (2) : N = 42 k'' - 3     (8)
(8) et (7) : N = 2520 K + 7557.
La contrainte N < 5000 conduit à K = -2 puis à N = 2517.
C'est une solution possible mais il y a plus astucieux : à partir du système écrit en gras, on peut voir que N + 3 est congru à 0 modulo 6, modulo 7, modulo 8, modulo 9 et modulo 10.
N + 3 est donc un diviseur commun à 6, 7, 8, 9 et 10. Donc un multiple du PPCM de 6,7,8,9 et 10. On le calcule : il vaut 8 * 9 * 5 * 7  = 2520. La contraite N < 5000 nous conduit à N + 3 = 2520 et on retrouve N = 2517.



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Juliette 07/03/2010 17:37


On a par exemple :
    1  8  3
    5      7
    6  4  2  
La somme des chiffres sur une même ligne ou colonne du périmètre est égale à 12. C'est bien cela qui était demandé ?  (et en plus on a 8+4=5+7=1+2+3+6=12 aussi ! ça marche
pour toutes les lignes et toutes les colonnes, et même pour les diagonales mises ensembles...)
Mais là j'avoue que je l'ai par hasard, pas même le début d'un raisonnement...


ANDRE 07/03/2010 20:37


C'est une possibilité. Mais la somme "magique" peut prendre d'autres valeurs.
Tu peux appeler abcdefgh les nombres, S la somme magique.
L'idée principale : a + c + e + g (les 4 angles)  est divisible par 4.
Quelques encadrements à suivre ...


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