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10 février 2010 3 10 /02 /février /2010 21:37
Les hommes et les femmes qui composent la division du général Georges Déployé, moins de 5000 âmes, ont une santé fragile. Lors des manoeuvres, le nombre de soldats à l'infirmerie est allé croissant.

Dès le deuxième jour, il y avait un absent : le général a fait défiler ses soldats par deux.
Le troisième jour, trois soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de trois.
Le quatrième jour, cinq soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de quatre.
Le cinquième jour, sept soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de cinq.
Le sixième jour, neuf soldats manquaient et le défilé fut organisé par rang de six.
Et ainsi de suite : chaque jour, deux absents supplèmentaires étaient signalés et les rangs comportaient un soldat de plus que la veille. Chaque rang était toujours complet.
Ainsi, le dixième jour des manoeuvres, il manquait dix-sept soldats, et la division défila par dix.

Quel est le nombre de soldats de la division du général Georges Déployé ?

                                jeux mathématiques du "Monde "

énigme de la semaine précédente
N = abcd le nombre. N = 1 000a + 100b + 10c + d
3N = 3 000a + 300b + 30c + 3d
3N - 16 = dcba équvaut à : 3 000a + 300b + 30c + 3d - 16 = 1 000d + 100c + 10b + a
Il est tentant d'isoler 16 et il vient : 2 999 a + 290 b - 70c - 997 d = 16.
Remarquons que si a >=4 alors 3N-16 >= 12000-16 et comme dcba  <=9999 , l'égalité est impossible.
a ne peut être nul : N est un nombre à 4 chiffres. Donc a = 1 ou a = 2 ou a = 3.

Raisonnons modulo 10 : 2 999 congru à 9    290 congru à 0     70 congru à 0           997 congru à 7   16 congru à 6
On cherche des entiers a, b, c, d entre 0 et 9 tels que 9a + 0b -0c - 7d congru à 6 modulo 10
9a - 7 d congru à 6 que l'on peut encore simplifier en -a + 3d  congru 6 mod 10   (9 congru à -1 et -7 congru 3) ou enfin      3d congru à  a +6     modulo 10
 
si a = 1 alors  d = 9
si a = 2 alors  d = 6
si a = 3 alors d= 3

Les couples (a;d) possibles sont (1 ; 9)  (2 ; 6)   (3 ; 3)  

Testons (1 ; 9) : 2999 + 290b - 70 c - 8973 = 16     soit 290 b - 70 c = 5990  soit 29b - 7c = 599 ou encore
29b = 599 + 7c.
29b vaut au maximum 29 * 9 = 261     et 599 +7c vaut au minimum 599. Une telle égalité est impossible.

Testons (2 ; 6) : 5998 + 290 b - 70 c - 5982d = 16    soit 290 c - 70 c = 0 !!! et donc  29c = 7 d
On peut partir sur le théorème de Gauss... d est multiple de 29 et c'est un chiffre : c'est donc 0 et c = 0.
Une première solution apparaît : 2006.

Testons (3 ; 3) : 8997 + 290b - 70c - 2991 = 16       soit   290b - 70 c = -5990    7c - 29b = 599   7c = 599 + 29b.
On montre comme pour (1 ; 9) qu'il ne peut y avoir de chiffre solution.

Vérification : 3 * 2006 - 16 = 6 002. 

 

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commentaires

Juliette 11/02/2010 21:47


Il y a 2517 personnes dans la division du général Déployé.


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