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20 janvier 2010 3 20 /01 /janvier /2010 22:11
Les nombres 46 et 96 possèdent une propriété intéressante : leur produit ne change pas lorsqu'on permute leurs chiffres.
En effet : 46 × 96 = 64 × 69 = 4416.
Existe-t-il d'autres couples d'entiers de deux chiffres possédant la même propriété ?



Solution de l'énigme de la semaine passée.
Pour la première énigme, je vous invite à lire le commentaire.
Pour la deuxième énigme : on cherche donc deux nombres entiers L et l tels que :  2(L + l ) = L l
soit : 2L + 2 l = L l ou encore 2 L = L  l - 2 l = l (L - 2).          2 L = l  (L - 2).        
On peut déjà noter que L > 2 pour avoir L positive.  

l (L -2) est donc paire ce qui interdit d'avoir l et L-2 impairs. Comme L et L-2 ont la même parité, l et L ne peuvent pas être impairs tous les deux. L'un au moins est pair ,voire les deux.
Supposons que L soit pair et écrivons L = 2 L' :
on a alors 2 * 2 L' = l (2 L' - 2) = 2 l (L' -1).
Soit après simplification par 2    : 2 L' = l (L' - 1).
Un nombre entier et son suivant sont premiers entre eux donc (L'-1) et L' sont premiers entre eux et comme (L'-1) divise 2 L' ,on en déduit que L' - 1 divise 2 d'après le théorème de Gauss
L' - 1 peut donc prendre deux valeurs : 1 ou 2.
Si L' - 1 = 1 alors L' = 2 et L = 4 et l = 4.
Si L' - 1 = 2 alors L' = 3 et L = 6 et l = 3

Supposons maintenant que L soit impair : alors c'est l qui est pair et on écrit l = 2 l'.
2 L = 2 l'(L - 2)  et après simplification par 2 : L = l' (L - 2). On en déduit que L- 2 divise L. Comme L - 2 divise L - 2, on a aussi L- 2 qui divise la différence L - (L - 2) donc qui divise 2. Par conséquent L - 2 = 2 ou L - 2 = 1.
Soit L = 4 ou L = 3.
Or  L = 4  est impossible : on a supposé L impair
Quant-à L = 3, c'est absurde car alors l = 6 et une largeur par définition ne peut dépasser la longueur.

Réciproquement : on vérifie sans souci que le carré  4 sur 4 et le rectangle 6 sur 3 onrt une aire et un périmètre s'exprimant par un même nombre;.

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commentaires

gabriel 22/01/2010 12:09


(a*10+b)(c*10+d)=ac*100+(bc+ad)*10+bd
(b*10+a)(d*10+c)=bd*100+(bc+ad)*10+ac

il suffit de prendre des chiffres a,b,c,d de 1 à 9 tel que a*c=b*d

on 1*6=2*3 alors 12*63=21*36=756 mais aussi 13*62=31*26=806
1*9=3*3 alors 13*93=31*39=1209
1*8=2*4 alors 12*84=21*48=1008 mais aussi 14*82=41*28=1148
1*4=2*2 alors 12*42=21*24=504
2*6=3*4 alors 23*64=32*46=1472 et 24*63=42*36=1512
2*8=4*4 alors 24*84=42*48=2016
2*9=6*3 alors 26*93=62*39=2418 et 23*96=32*69=2208
3*8=4*6 alors 34*86=43*68=2924 et 36*84=63*48=3024
4*9=6*6 alors 46*96=64*69=4416


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