L'énigme de la semaine

On va rester dans le domaine des probabilités.
Deux joueurs A et B jouent au dé.
A commence : s'il fait 1 ou 2, il gagne.
Sinon, B joue : s'il fait 3,4 ou 5, B gagne.
Sinon A rejoue et gagne selon les mêmes conditions qu'au départ.
et on continue comme celà, jusqu'à ce qu'un des deux joueurs gagnent.

Calculer les probabilités de gagner pour chacun des deux joueurs.


La semaine passée : les solutions proposées m'ont convaincu sauf pour la dernière preuve. Vous étiez tout proche de la solution mais ,il manquait un  argument .
Comment donner un sens à la somme d'une infinité de termes ? Mieux que cela  :
la somme d'une infinité de termes a-t-elle toujours un sens ?
Il n'est pas question d'apporter ici une réponse définitive. Ce sera une étude que vous ferez dans l'enseignement supèrieur. Cependant, on peut déjà apporter un début de réponse quand on somme les termes d'une suite géométrique. C'est le cas ici.
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... est la somme des termes de la suite géométrique (-1)ⁿ.
Ecrivons S_n = 1 + q + q² + q³ + ...+ qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q).
Il est tentant de concevoir  la somme infinie S = 1 + q + q² + q³ + ...  comme la limite de S_n quand n tend vers + inf.  
Encore faut-il que cette limite existe ! C'est là que ça peut coincer...
Si -1 < q < 1, pas de souci : qⁿ⁺¹ tend vers 0 et S_n tend vers 1/1-q.
Dans tous les autres cas, S_n tend vers +inf ou n'a pas de limite et donc
S = 1 + q + q² + q³ + ... n'a pas de sens.
 En particulier 1 - 1 + 1 - 1 + ... n'a pas de sens car ici nous avions q = -1.
Le raisonnement est donc faux dès le départ.
Dans l'article sur la loi géométrique vous retrouvez ces notions.